المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : الرياضيات...


تمارا
18-01-2007, 04:04 PM
بسم الله الرحمن الرحيم



كيف تعلم طلابك عمليا أن يكتشفوا القوانين في الرياضيات؟

لمعلم الرياضي الناجح هو المعلم الذي يطور ويحسن مهارة الاكتشاف لدى طلبته ، يتم التحسين والتطوير من خلال الأنشطة الموجهة والهادفة ، فكما استطاع الإنسان أن يوفر المناخ والجو الملائم لنبتة البندورة ( لا للحصر ) أن تثمر في غير أوانها شتاءً، من خلال تهيئة العوامل والأساليب التي تساعد على الأثمار (مع التحفظ على هذه المقارنة بسبب الفرق الهائل بين النبتة والطالب ،الذي يمتلك بنية معرفية تفوق النبتة ،و أعقد أجهزة الحاسوب العملاقة، و تختلف عن كل الكائنات الحية ) فكذلك المعلم الماهر يستطيع أن يوفر المناخ
الاستكشافي الإبداعي لدى طلبته من خلال الشعار الذي يقول : لا تطعمني مليون سمكة ، ولكن علمني أن أصطاد سمكة من فضلك . نعم لأن من يصطاد سمكة قد يصطاد غيرها وغيرها حتى يصبح صيادا ماهرا ، و لا تنس عزيزي القارئ حكمة العالم الذي سأله أصدقاؤه السذج في قديم الزمان : ها أنت قد أجريت مئة تجربة فاشلة و لم تحصل على نتيجة صحيحة ؟؟؟ نعم … نعم … ،إجابة الحكيم ،لكن المرة مئة و واحد سأكتشف القانون ، لأنني أعرف مئة طريقة خطأ ، و سأتجنبها جميعا ، وفعلا المرة مئة و واحد كان الاكتشاف ! في هذه المقال!
ة سيتم عرض أربعة أنشطة تهدف إلى اكتشاف قانون محيط الدائرة ومساحتها، و قانون مساحة سطح الكرة وحجمها ( يستطيع أي معلم اقتباس هذه الأفكار وتطويرها لمواضيع أخرى في مادة رياضيات(


النشاط الأول

الموضوع : محيط الدائرة ( ح = 2 نق (
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون محيط الدائرة عمليا ( طول محيط الدائرة يساوي تقريبا طول 6 أنصاف أقطار الدائرة ، أو ثلاثة أقطار).
المواد والتجهيزات اللازمة :
ستة علب مختلفة في القياسات و فارغة على شكل أسطوانة دائرية قائمة ، خيوط عادية رفيعة ، مسطرة ، مثلثان بلاستيكيان قائمان ( متوفرة في علب الهندسة ) ، قلم رصاص .
الإجراءات :
1) ضع أرقاما متسلسلة على كل أسطوانة .
2) سجل الأرقام المتسلسلة في العمود الأول من الجدول في الأسفل .
3) لف الخيط على محيط القاعدة بحيث يكون طول الخيط يساوي محيط دائرة الاسطوانة ، كرر هذه العملية لجميع الأسطوانات الستة .
4) سجل طول الخيط الذي يمثل محيط كل أسطوانة في الجدول الأسفل .
5) قس طول قطر قاعدة كل أسطوانة ثم سجله في العمود المناسب في الجدول . تذكر : لقياس طول قطر القاعدة ؛ ثبت الأسطوانة بين المثلثين البلاستيكيين بشكل عمودي بحيث يكون أحد ضلعي القائمة مماسا لجسم الأسطوانة و الأخر منطبق على حافة المسطرة ، ثم أقرا المسافة المحصورة بين رأسي المثلثين من جهة الأسطوانة و المنطبقين على المسطرة
6) من الخطوة الخامسة ، أحسب طول نصف قطر القاعدة ، من خلال قسمة كل الأعداد في العمود على 2 .
7) أكمل الفراغ في العمودين الأخيرين من الجدول ، ثم سجل اكتشافك أسفل الجدول .

املأ الجدول الأتي :
كم مرة طول خيط المحيط أطول من نصف قطر الأسطوانة؟ كم مرة طول خيط المحيط أطول من طول القطر ؟ قياس طول نصف قطر دائرة الأسطوانة قياس طول قطر دائرة الأسطوانة قياس طول الخيط الذي يمثل محيط دائرة الأسطوانة. رقم الأسطوانة


ماذا تلاحظ في العمود الأخير من الجدول؟

.................................................. .................................................. .....................................

.................................................. .................................................. .....................................
في العمود الأخير لا بد أن تكون العلاقة بين المحيط و نصف القطر : طول الخيط الذي يمثل طول المحيط في العمود الأول يساوي 6 أضعاف طول نصف القطر أي ؛ ح= 6 نق (أو 3 أقطار كما في العمود قبل الأخير ) لأن 6 و كذلك 3 ، وهنا ينوه المعلم إلى أنه بسبب الدقة العلمية المتناهية ، و بسبب وجود نسبة خطأ في قياساتنا و بسبب التوفيق بين الجانب العملي والجانب النظري ( المثالي )، فقد اتفق العلماء أن نعوض بدل ح= 6 نق ؛ ح = 2 نق . قد يتوقع من أحد الطلبة ( وهذا ليس غريبا) ، أن يصيغ الاكتشاف كما يأتي : طول محيط الدائرة يساوي طول ثلاثة أقطار لها تقريبا أو طول ستة أنصاف أقطار لها تقريبا ، أو طول نصف قطر الدائرة يساوي سدس محيطها تقريبا ، أو طول قطر الدائرة يساوي ثلث محيطها تقريبا ، إن جميع هذه الإجابات إبداعية ولها معنى في بنية الطالب المعرفية الرياضية .


النشاط الثاني
الموضوع : مساحة الدائرة .
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون مساحة الدائرة عمليا ( مساحة الدائرة تساوي تقريبا مساحة ثلاث مربعات منشئات على نصف قطرها ).
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مقصات ، صمغ ، أوراق العمل ( مرفقة هنا (
خطوات التنفيذ 1) توزيع ورقة العمل الآتية على الطلبة

يلاحظ أن هذه الدوائر مختلفة من حيث نصف القطر .
2) تكليف الطلبة قياس أنصاف أقطار الدوائر جميعها .
3) توزيع ورقة العمل الآتية على الطلبة ( يجب أن يكون طول نصف قطر كل دائرة يساوي طول ضلع المربع ؛ أي كل دائرة لها 5 مربعات ، طول ضلع هذه المربعات يساوي طول نصف قطر الدائرة ، لذلك يرجى الدقة عند تصميم هذا النشاط من قبل المعلمين ، مع ملاحظة أن الرسومات هنا تقريبية وغير دقيقة ، وهي من أجل التوضيح فقط ) . ش(

4) أبحث عن المربعات التي طول ضلعها يساوي طول نصف قطر الدائرة ؛ عين كل دائرة مع المربع الذي طول ضلعه يساوي نصف قطرها .
5) قص المربعات بالمقص ، ثم حاول لصق أكبر عدد ممكن من المربعات على سطح الدائرة وذلك بشرط أن يكون طول ضلع المربع الذي تلصقه يساوي طول نصف قطر الدائرة ، ويجب عدم ترك فراغ على سطح الدائرة .
6) كم مربعا يلزم لتغطية الدائرة الواحدة ؟

.................................................. .................................................. .......................................

.................................................. .................................................. .......................................

إذا نفذ الطالب النشاط بعناية ودقة فسيلاحظ أن عدد المربعات اللازم هو 3 ، أي أن مساحة الدائرة تساوي مساحة ثلاث مربعات منشئات على نصف قطرها وبالرموز ؛
مساحة الدائرة ( تقريبا ( نق2 وهو ما يساوي بالضبط نق2 ، ويحتمل أن تكون هناك إجابات أخرى للطلبة مثل : مساحة المربع المنشأ على نصف قطر الدائرة يساوي تقريبا ثلث مساحة الدائرة ، و يمكن أن يربط أحد الطلبة مساحة الدائرة بمساحة المربع المنشأ على قطرها وهكذا .



النشاط الثالث

الموضوع : مساحة سطح الكرة .
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون مساحة سطح الكرة عمليا ( مساحة سطح الكرة تساوي تقريبا مساحة 12.5 مربعا منشأ على نصف قطرها)

المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مقصات ، كرة القدم ، ورق تجليد
خطوات التنفيذ 1) جد طول قطر كرة القدم من خلال تثبيتها على مسطرة وبين مثلثين قائمين.
2) جد طول نصف قطر الكرة من الخطوة الأولى .
3) غلف كرة القدم بشكل جيد بورق التجليد ( أي أنك تصنع كرة أخرى من الورق ( .
4) انزع ورق التجليد بلطف ( كرة الورق من الخطوة السابقة) .
5) قص ورق التجليد ( الذي نزعته عن الكرة ) إلى مربعات ، بحيث يكون طول ضلع كل مربع يساوي طول نصف قطر الكرة .
6) ما عدد المربعات التي حصلت عليها ؟ وما العلاقة بين عدد المربعات وسطح الكرة ؟
يلاحظ أن عدد المربعات يساوي ( تقريبا ) 12,5 ؛ أي أن مساحة سطح الكرة تساوي مساحة 12,5 مربعا منشئا على نصف قطرها وهو ما يدل عليه القانون بالتقريب
مساحة سطح الكرة نق2 وهو ما يساوي بالضبط 4 نق2 .
يتوقع أن يكتشف أحد الطلاب العلاقة ( القانون ) بصورة عكسية ؛ أي أن مساحة المربع المنشأ على نصف قطر الكرة يساوي تقريبا 112 ، وقد تكون هناك إجابات أخرى إبداعية .



النشاط الرابع
الموضوع : حجم الكرة
الهدف : أن يكتشف الطلب قانون حجم الكرة عمليا ( حجم الكرة يساوي تقريبا حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها ).
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مشرط أو سكين ، ثمار التفاح أو الفجل أو أي شئ كروي يمكن تقسيمه بسهولة ويسر مثل كرة من اللدائن .

خطوات التنفيذ :
1) أحسب طول قطر التفاحة من خلال تثبيتها بين مثلثين قائمين وعلى حافة المسطرة.
2) أحسب طول نصف قطر التفاحة .
3) قص التفاحة الى جزئين متطابقين بالمشرط .
4) حاول تقسيم الاجزاين الى مكعبات بحيث يكون طول ضلع المكعب يساوي طول نصف قطر الكرة ( لا تهتم بوجود نتوئات في المكعبات التي حصلت عليها أو عدم انتظامها (
5) ما عدد المكعبات التي حصلت عليها ؟ وما العلاقة بين عدد المكعبات وحجم التفاحة ؟
يلاحظ أن عدد المكعبات يساوي ( تقريبا ) 4 ؛ أي أن مساحة حجم الكرة يساوي حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها وهو ما يدل عليه القانون بالتقريب
حجم الكرة نق3 وهو ما يساوي بالضبط 43 نق3 ، ويمكن توقع اكتشاف القانون بطرق أخرى مثل : حجم المكعب المنشأ على نصف قطر الكرة يساوي ربع حجم الكرة ، ويتوقع إجابات إبداعية أخرى قد يظهرها الطلبة .

ملاحظة مهمة ومتقدمة في الرياضيات ( التكامل و التفاضل ) : هناك علاقة مهمة جدا بين مساحة الدائرة ومحيطها ، إن إجراء عملية التكامل لقانون محيط الدائرة يعطي قانون مساحتها، وبالعكس فأن اشتقاق قانون المساحة يعطي قانون المحيط، وكذلك بالنسبة للكرة، فأن اشتقاق قانون حجم الكرة يعطي قانون مساحة سطحها ، وتكامل قانون مساحة السطح يعطي قانون الحجم . فلو تم تقديم هذه الفكرة إلي طلبة التوجيهي فأنها تساعدهم في تخزين هذه القوانين بيسر وسهولة من خلال علاقة لها معنى رياضي منطقي.



الخلاصة : إن الأنشطة أعلاه تبني المعنى لدى الطلبة من خلال الأنشطة عمليا وبصورة قريبة جدا من الجانب النظري ، لذلك يرجى عدم الاستهانة بهذا النوع من الانشطة ، والتي قد تخزن في ذاكرة الطلبة لفترة طويلة جدا ، ويستطيع الطالب الحكم على نجاعة وصحة حله عند حساب محيط الدائرة ومساحتها ، وكذلك عند حساب مساحة سطح الكرة وحجمها ، فالطالب يعرف عمليا ونظريا أن طول محيط الدائرة يساوي تقريبا طول 6 أنصاف أقطار لها، وكذلك فأن مساحة الدائرة تساوي مساحة 3 مربعات منشئات على نصف قطرها ، وكذلك الأمر لمساحة سطح الكرة تساوي مساحة 12 أو 13 مربعا منشئا على نصف قطرها، وأن حجم الكرة يساوي حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها ، وفي النهاية لابد من الاعتراف بإن تطوير مهارة الاكتشاف من خلال التقدير في الرياضيات من الأمور المهمة جدا لدى جميع التربويين لأنها تنمي حب الاكتشاف وتطلق العنان للخيال في الإبداع ، لم لا والتقدير مع الاكتشاف عبارة عن تخمين ومعالجة ذكية للبيانات والظواهر الرياضية.

تمارا
18-01-2007, 04:05 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

اينشتاين والسيدة

بينما كان العالم الرياضي الشهير " ألبرت اينشتاين " في إحدى الحفلات العامة فاقتربت منه سيدة وطلبت منه أن يشرح لها النظرية النسبية فروى لها القصة التالية:

كنت مرة مع رجل مكفوف البصر فذكرت له أنني أحب الحليب .

فسألني: ما هو الحليب ؟

قلت: إنه


سائل ذو لون أبيض.

فقال : أما السائل فإنني أعرفه . ولكن ما هو اللون لأبيض ؟

قلت: إنه لون ريش البجع.

فقال أما الريش فإنني أعرفه . ولكن ما هو البجع ؟

قلت : إنه طائر رقبته ملتوية .

فقال : أما الطائر فإنني أعرفه . ولكن ما معنى ملتوية؟

" عند إذن أخذت ذ راعه ومددتها ثم ثنيتها " وقلت هذا معنى الالتواء .

فقال الرجل : آه : الآن عرفت ما هو الحليب .

ثم قال آينشتاين للسيدة : والآن يا عزيزتي أما زلت ترغبين في أن اشرح لك النظرية النسبية ؟

تمارا
18-01-2007, 04:07 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

التعلم المعتمد على المشاريع


يحظى التعليم المعتمد على المشاريع بثبات كبير في الفصول الدراسية حيث أكد الباحثون ما كان يعتقد فيه المدرسون منذ أمد طويل: يصبح الطلاب اكثر تفاعلية بالتعلم عندما يحظون بفرصة اكبر للخوض في مشاكل معقدة وتحديات والتي تتشابه الى حد كبير مع الحياة الواقعية.

تسير التقنية والتعليم المعتمد على المشاريع يداً بيد، حيث يقود الطبيعة الواقعية لعمل المشاريع


الطلبة إلى استخدام التقنية أثناء تخطيطهم في عمل المشاريع، والتعاون بين أعضاء المجموعات، وحل المشكلات، ومشاركة عملهم مع آخرين. ويوضح تصفح مجموعة خطط الوحدات نطاق الأجزاء التي تغطيها التقنية في مهام أساسية أثناء عمل المشروع والمنتجات والإنجازات النهائية.

تغير الأدوار في الصفوف الدراسية التي تعمل بنظام المشاريع
بينما يقوم كل من المدرسين والطلاب بالعمل معاً، يتغير دور كل منهم. ويصبح الطلاب أكثر نشاطاً بتعلمهم الذاتي ويتخذون قرارات صائبة فيما يخص تشكيل مسارهم التعليمي. ويتضمن عمل المشروع تخطيط تقدم الطلاب في تعلمهم بين أعضاء الفريق الواحد، وإدارة مهام متعددة بنتائج مفتوحة النهاية والعمل على الالتزام بتواريخ إنجاز المهام وعرض النتائج بتقدير موضوعي للأداء أو المنتجات. لا يصبح المتعلم متلقي سلبي للمعلومات بعد الآن حيث يوجد إعمال لمهارات التفكير بمستوياته العليا حيث يقومون بالتحليل والتجميع وتقييم المعلومات حسب طريقتهم لتحقيق غايات جديدة. بينما يكتسبون فهم جديد للأشياء، يمارسون أيضاً مهارات التفكير والدراسة والتعاون بطرق تخدمهم بقية حياتهم.

تغير أدوار المدرسين أيضاً. ويتقلص دورهم كأوعية للمعلومات ويزيد دورهم كموصلين للمعنى، ويكون للمدرسين القدرة على تغيير طرق التخطيط والتدريس والتفاعل مع الطلاب. وعندما تتداخل المسارات بين المواضيع التقليدية وعمليات التعليم المفتوح النهاية أثناء عمل المشروع، تظهر أهمية التخطيط الجيد عن أي وقت آخر. ويتأكد المدرسون الذين تقوم خططهم على أساس من التصميم السليم للمبادئ الرئيسية من أن الطلبة يحققون أهداف التعليم الهامة

التخطيط هو المفتاح الأساسي
تستغرق عملية تطوير المشاريع الفعالة التي تجمع بين أهداف المحتوى القوي والمهام التي يقوم بها الطلاب ومحصلاتها بعض الوقت وتحتاج إلى مهارة. وتأتي أفضل المشاريع من التخطيط الجيد والتوقع لأدق التفاصيل. لحسن الحظ، يمكن أن يرجع المدرسون إلى بعضهم البعض، ومشاركة أفضل الأعمال لهم واستعارة نجاحات بعضهم البعض. تم تصميم مورد "خطط الوحدات والمشاريع" لمساعدة المدرسين على التخطيط للتعلم المعتمد على المشاريع. حيث ان القراءة وأفكار التصميم والنماذج الجاهزة وخطط الوحدات وخطط التدريس تساعد المدرسين على إعداد خططهم التعليمية وتنفيذها.

تمارا
18-01-2007, 04:09 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

وار رياضي
د. علي عثمان-(سخنين)- أكاديمية القاسمي -باقة الغربية-حيفا

(هذا نموذج لدرس في الرياضيات، الطالب في مركزه، يحلل، يفكر، يعرض وجهات نظره، ينتقد ذاته، يصحح، يعمم، يبرهن ويعرف أهمية البرهان، يدقق في فهم النصوص، يشارك زملاءه، يبذل الجهود ويسأل، ويعرف كيف يسأل).
قال هيثم: سمعت من عبير أنه لو أخذنا عدداً طبيعياً أيا كان وضربناه في 6 ثم جمعنا للناتج 1 فإننا نحصل على عدد أولي.
فكر باهر قليلاً وقال: إن كلام عبير هذا غير صحيح. فلو اخترنا مثلاً العدد 4 وضربناه في 6 وجمعنا لحاصل الضرب 1 نحصل على 25

وهو عدد غير أولي.
قال هيثم: صحيح ما تقول فيبدو أني لا أذكر جيداً. ولكن ماذا لو اخترنا عدداً طبيعياً وضربناه في 6 وطرحنا من حاصل الضرب 1؟
مثلاً 5 =1- 1 × 6 ، 11 = 1-6 × 2، 17 =1 - 3 × 6 ، 23 =1-4 × 6 ، جميعها أعداد أولية.
قال باهر: إنه أمر مدهش، لم أسمع بهذا من قبل. ولقد سمعت من معلمي أنه لا يعرف قانوناً لمتوالية لا نهائية جميع حدودها أعداد أولية.
قال هيثم: هيا نتصل بعبير ونعلمها بهذا.
وعندما اتصل هيثم بعبير قالت: يسعدني أن تكتشف نظرية ولكني أنبهك الى أن هذا العدد من التجارب لا يكفي، فيجب البرهان.
شكر هيثم عبير على هذه النصيحة. جلس هيثم وباهر، هيثم يفكر بالبرهان وباهر بالفحص. بعد قليل أعلن باهر: هذه القضية خاطئة. فلو اخترنا العدد 20 مثلاً فإن:
119 = 1 - 20 × 6 ولكن 119 = 17 × 7 فهو ليس أولياً.
وافق هيثم باهراً واتصل مرة أخرى بعبير ليعلمها بما توصلا إليه. عندها قالت عبير: إني أذكر أني قرأت بإحدى المجلات أن كل عدد أولي هو من الصورة 6n+1 أو 6n-1. ولكنني لا أذكر البرهان.
أعلم هيثم باهراً بهذا. وهذه الجملة خاطئة أيضاً، قال باهر. إذ أن العددين 2 و 3 ليسا من هذه الصورة. هيا اتصل بها وأخبرها بهذا.
قال هيثم: مهلاً، لا أريد أن أحرجها أكثر وأنا أعرف أنها مشغولة في حل مسائل هندسية. هيا نفكر أولاً بإثبات النظرية بالنسبة للأعداد الأولية الأكبر من 3 فأظن أنها تحقق النظرية مثلاً: 7=1+1×6، 11=1-2×6، 13=1+2×6.
بعد دقائق، قال هيثم: كل عدد طبيعي أكبر من 4 هو من الصورة:
6n+5, 6n+4, 6n+3, 6n+2, 6n+1, 6n، ولكن عدد من الصورة 6n+5 يمكن أن نكتبه بالصورة 6m-1(أي من الصورة 6n-1). تدخل باهر وقال: 6n يقسم على 2، 6n+2 يقسم على 2، 6n+3 يقسم على 3، 6n+4 يقسم على 2.
قال هيثم: إذاً فإن الأعداد التي ذكرتها ليست أولية؟
قال باهر: نعم. لذلك فالعدد الأولي يجب أن يكون من الصورة 6n+1 أو 6n-1 باستثناء
2 و 3. تشجع هيثم واتصل بعبير وأعلمها بما توصلا إليه.
قالت عبير: أشكركما جداً وما مع المسألة الأولى.
قال هيثم: أية مسألة تعنين؟
قالت عبير أعني المسألة أنه عند تعويض عدد طبيعي بدل n في الصورتين 6n-1, 6n+1 فإننا نحصل على عددين أحدهما على الأقل عدد أولي.
قال هيثم: لقد أخبرتك بأن هذه القضية خاطئة فلو عوضنا n=20 فإننا نحصل على: 119=1-20×6، 121=1+20×6.
قالت: شكراً شكراً، تذكرت.
قال باهر: يبدو أنها لا تكتفي بمثل واحد، هيا نجد قانوناً لمتوالية لا نهائية، عندما نعوض كل حد من حدودها في كلا الصورتين نحصل على عددين غير أوليين.
قال هيثم: إنك تبحث عن المشاكل، إنها مسألة جدية، وإني معجب بتفكيرك هذا.
قال باهر: هذا التفكير بسبب التحدي الذي أشعر به.
قال هيثم: لنبحث عن متوالية أعداد بحيث أن تعويض كل منها في 6n-1 يعطي عدداً غير أولي.
قال باهر: إني أرى هذه الصورة مثل a2-1 وعندها (a-1)(a+1)=a2-1
قال هيثم: قصدك أن تعوض n=6k2
قال باهر: أنا لم أقصد هذا، بل أنت اكتشفت هذا، نعم لو عوضنا n=6k2 فإن:
6n - 1 = 6 ´ 6k2 - 1= (6k)2 - 1= (6k - 1)(6k + 1) فهو عدد غير أولي.
قال هيثم: وماذا تكون الصورة 6n + 1 عندها؟
أكمل هيثم: 6 ´ 6k2 + 1= (6k)2 + 1 . والآن متى يكون (6k)2+1 عدداً غير أولي؟
نظر هيثم وباهر نظرات تفكير وعجز أمام هذه المسألة. فجأة سمع الاثنان قرعاً على الباب. وإذا بعبير تدخل.
قالت عبير أتيت لأشارك في التفكير ولأعرض عليكم مسألة أتعبني التفكير فيها.
قال هيثم (مبتسماً): لن نسمع مسألتك قبل أن نحل هذه المسألة.
قالت عبير: ما هي المسألة؟
قال هيثم: متى لا يكون (6k)2 + 1 أولياً؟
نظرت عبير قليلاً للمسألة وقالت: لو كان رقم آحاد (6k)2 أربعة فإن رقم آحاد (6k)2 + 1 يكون 5 وهذا العدد أكبر من 5 فهو ليس أولياً، لأنه يقسم على 5.
سر هيثم وباهر من ملاحظة عبير. التي قالت أيضاً: سمعت مسألة مشابهة وهي: متى يكون a2+1 عدد غير أولي؟
قال باهر: لنواصل قليلاً وقال: يكون رقم آحاد (6k)2 الرقم 4 عندما يكون رقم آحاد 6kإما 2 أو 8 وهذا يحدث عندما قيم k هي:
2، 7، 12، 17،……
أو 3، 8، 13، 18،……
الأول هي متوالية عددية حدها العام: k=2+5(m - 1)=5m-3
الثانية هي متوالية عددية حدها العام: k=3+5(m -1)=5m-2
والخلاصة: إنه لو عوضنا n=6(5m-3)2 أو n=6(5m - 2)2 في الصورتين 6n-1 و 6n+1 فإننا نحصل على عددين غير أوليين.
بهذا وجدنا ما لا نهاية من الأعداد. عندما نعوض كلاً منها في الصورتين 6n+1, 6n-1، نحصل على عددين غير أولين.
قالت عبير (يعد أن عرفت كل الحديث): هل توجد أعداد أخرى غير الأعداد التي في هاتين المتواليتين؟
قال باهر: بالطبع العدد 20 مثلاً.
قال هيثم: يبدو أننا توجهنا توجهاً معقداً في تحليلنا، المتوالية التي حدها العام an=6n+1 هي متوالية لا نهائية وكذلك المتوالية التي حدها العام bn=6n-1 هي متوالية لا نهائية أيضاً. ونحن نعرف أن عدد الأعداد الأولية هو عدد نهائي، ألا تذكرون برهان المعلم لهذه القضية! لذلك فإن عدد الأعداد غير الأولية ذات الصورة 6n+1 هو عدد لا نهائي وكذلك فإن عدد الأعداد غير الأولية ذات الصورة 6n-1 هو عدد لا نهائي.
قالت عبير: إن نظرية إقليدس التي برهنها المعلم أفادت بأن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة لا نهائية. فيبدو أنك لا تتذكر جيداً يا هيثم.
قال هيثم: سأتصل بالمعلم لأتأكد.
اتصل هيثم بالمعلم وسأله.
قال المعلم: لقد برهنا أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة لا نهائية.
قال هيثم: إني أذكر أنك قلت، نفرض أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة نهائية.
قال المعلم: لقد برهنا هذه النظرية بطريقة الفرض الخاطئ. افترضنا أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة نهائية وتوصلنا ال تناقض. إني أقترح عليك دراسة البرهان بعمق أكبر. فيبدو أنك لم تفهمه جيداً.
قال هيثم: شكراً يا أستاذ. إني أجلس مع باهر وعبير ونبحث في الرياضيات.
قال المعلم: إني أقترح عليكم دراسة وفهم برهان نظرية إقليدس التي تفيد بأن مجموعة الأعداد الأولية لا نهائية. وحاولوا أن تبرهنوا حسب نفس الطريقة أن مجموعة الأعداد الأولية ذات الصورة 6n-1 هي أيضاً مجموعة لا نهائية.
قال هيثم: يا لها من مفاجأة. منذ ساعات ونحن نفكر في الأعداد التي من هذه الصورة ولقد أثبتنا وجود ما لا نهاية من الأعداد غير الأولية من هذه الصورة.
قال المعلم: بورك فيكم. حاولوا أن تبرهنوا وجود ما لا نهاية من الأعداد الأولية من هذه الصورة.
أبلغ هيثم صديقيه بفحوى حديث المعلم. درسوا برهان نظرية إقليدس.
باهر: هيا نفرض أن عدد الأعداد الأولية ذات الصورة 6n-1 هو عدد نهائي.
نفرض أن هذه الأعداد هي: p1, p2,……………pk لكي نصل الى تناقض علينا إيجاد عدد من نفس الصورة بحيث أنه لا يقبل القسمة على أي عدد أولي.
العدد p1, p2,……………pk هو من الصورة 6k-1إن كان k فردياً وهو من الصورة 6k+1 إن كان k زوجياً. عندما نضيف له 1 فإننا نحصل على عدد زوجي. فالعدد الذي نبغي بناءه يختلف في صورته عن العدد الذي اقترح في برهان نظرية إقليدس.
قالت عبير: ماذا مع العددين 2 و 3 لماذا لا ندخلهما في بناء العدد .
هيثم: أقترح أن نأخذ العدد x=2p1× ……… × pk+3
عبير: قد يكون x من الصورة 6n - 1 وقد يكون من الصورة 6n+1. تذكر أن علينا اختيار عدد من الصورة 6n - 1.
هيثم: نختار العدد x=6p1× p2 ×……… × pk-1 فمن الواضح أنه من الصورة 6n-1.
باهر: أجل، إن هذا العدد من الصورة 6n-1 وهو لا يقبل القسمة على 2 ولا يقبل القسمة على 3 ولا يقبل القسمة على أي عدد من الأعداد p1,……, pk.
هيثم: لذلك فهو عدد أولي. سأتصل بالمعلم.
اتصل هيثم بالمعلم وأخبره بما توصلوا إليه.
المعلم: ولماذا x لا يقبل القسمة على عدد أولي من الصورة 6n+1 ؟
هيثم: يبدو أني تأثرت كثيراً ببرهان نظرية إقليدس. يبدو أنه توجد مرحلة إضافية هنا.
المعلم: نعم، ما بقي عليكم فحصه هو أمر في غاية السهولة. الى اللقاء.
أبلغ هيثم صديقيه.
عبير: لقد فرضنا أن x غير أولي فهو قابل للتحليل كضرب أعداد أولية q1×q2× …… ×qj وجميع هذه الأعداد يجب أن تكون من الصورة 6n+1.
باهر: لكن ضرب أعداد من الصورة 6n +1 هو عدد من نفس الصورة.
بما أن x ليس من الصورة 6n -1 لذلك فإن x لا يمكنه أن يتحلل للعوامل. لذلك فإن x هو عدد أولي.
عبير وهيثم: وهذا يناقض الفرض، حيث أن x هذا يختلف عن جميع الأعداد p1, …… pk.
قالت عبير: سأتصل وأخبره بهذا.
هيثم: اصبري قليلاً. إنه حتماً سيطلب منا أن نبرهن وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ذات الصورة 6n +1.
باهر: صحيح، لماذا لم أفكر بهذا؟
عبير: أعتقد أن البرهان مشابه لهذا البرهان. فلو فرضنا أن عدد الأعداد الأولية ذات الصورة 6n+1 هو عدد نهائي. وأن هذه الأعداد هي p1, p2,……pr
ولو أمعنا النظر في العدد x=6p1× p2× ……pr+1 فهو أيضاً من الصورة 6n+1 ولا يقبل القسمة على 2 و 3 ولا يقبل القسمة على أي من الأعداد p1,……,pr. فلو فرضنا أن x ليس عدداً أولياً فهو قابل للتحليل كضرب أعداد أولية q1,……qmجميعها من الصورة:
6n -1. أي أن x=q1× ……× qm.
الآن: q1× ……× qm هو من الصورة 6n-1 لكن لا يوجد عدد من الصورة 6n-1 وهو أيضاً من الصورة 6n +1. سأتصل.
باهر: مهلاً! إن كل ما قلته جميل إلا الجملة قبل الأخيرة. إن q1×……×qm هو من الصورة 6n +1 عندما يكون m زوجياً.
هيثم: آه، يوجد خطأ في البرهان.
عبير: صدقت.
جلس الأصدقاء الثلاثة يفكرون في هذه المسألة وأخيراً قرروا الاتصال بمعلمهم.
اتصلت عبير بالمعلم وأخبرته بتفاصيل أبحاثهم.
المعلم: فعلاً، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ذات الصورة 6n+1 ولكن برهان هذه النظرية بحاجة الى دراسة أعمق في نظرية الأعداد. أقترح اختيار العدد x=(2p1×……×pr)2+3.
العدد x لا يقبل القسمة على أي واحد من الأعداد 2,3, p1,……,pr.
هناك نظرية تفيد بأنه إذا وجد y صحيح بحيث أن y2+3 يقبل القسمة على عدد أولي q فإن q يجب أن يكون من الصورة 6n+1.
بالاعتماد على هذه النظرية نستنتج أنه لا يوجد عدد أولي من الصورة 6n -1 بحيث أن x يقبل القسمة عليه. لذلك فإن x أولي. وبما أن x يختلف عن جميع الأعداد p1,……,pr وبما أنه من الصورة 6n+1, نصل الى تناقض مع الفرض.
أخبرك أيضاً بنظرية "ديريكليه" والتي تقول أن لكل عددين صحيحين موجبين وغريبين a و b توجد ما لا نهاية من الأعداد الأولية ذات الصورة a×n+b.
إن برهان هذه النظرية معقد ويحتاج الى معلومات كثيرة في نظرية الأعداد. إني أقترح عليكم البحث عن هذه النظرية في المكتبة.
عبير: ماذا تقصد بعددين غريبين؟
المعلم: هما عددان بحيث أن الكسر الذي مقامه أحدهما وبسطه العدد الآخر غير قابل للاختصار مثل (2,5) (11,12) (4,5). شكرت عبير معلمها وحدثت صديقيها عن فحوى حديثها مع المعلم.
قال هيثم: وماذا عن المسألة التي أردت الاستفسار عنها حين أتيت هنا؟
عبير: ألا زلت تذكر! مسألتي تبدو أسهل مما كنتم تفكرون فيه، وهي كالتالي: معطى معادلة مستقيم من الصورة ax +by =c، ومعطى نقطة (x0,y0 ). كيف نعرف بسرعة إن كانت النقطة واقعة على المستقيم (وهذه سهلة) أو فوقه أو تحته، دون الحاجة الى الرسم؟
قالا: نعدك أن نفكر بمسألتك غداً بعد أن نستريح قليلاً.

تمارا
18-01-2007, 04:11 PM
بسم الرحمن الرحيم

دور المعلم في عملية حل المسائل الحسابية


أن يساعد المدرس تلاميذه على القراءة الواعية الشاملة وان يشجعهم على قراءة المسالة أكثر من مره إذا لزم الأمر وان يعبروا عن مضمون المسالة بلغتهم وليكن واضحا لدى المدرس أن لفظا واحدا في المسالة لا يفهمه التلميذ قد يعوقه عن فهم المسالة برمتها ولذلك إذا كان هناك لفظا جديدا أو صعبا بالنسبة لهم يجب أن يوضح المدرس معناه والأفضل أن يساعد التلاميذ على استنتاج معناه.
أن يساعد المدرس تلاميذه على اكتساب المهرة في رسم الأشكال التي تعبر عن المسالة وان يرسموا للمسالة أكثر من شكل كلما أمكن.
أن يربط المدرس موقف المسالة بحياة التلميذ كلما أمكن فان هذا يضفي على الرياضيات فاعليتها ويوضح وظيفتها في المجتمع.
مناخ الفصل الذي يسوده الود يشجع التلاميذ على توجيه الأسئلة وهذا يساعدهم بالتالي على الاستفسار عن لغة ومضمون المسالة.
أن يراعي المدرس مبدأ الفروق الفردية.
أن يساعد تلاميذه في اكتساب المهارة في فرض الفروض لحل المشكلة واختبارها واختيار الصحيح منها.
أن يعتمد فرض فروض الحل واختبارها أساسا على المهارة في استخدام طرق التفكير التأملي والتفكير الاستدلالي التي تقود بدورها إلى التفكير الخلاق. ولا نعني هنا أن يقوم المدرس بتدريس طرق التفكير هذه للتلاميذ ولكننا نعني أن يشجع تلاميذه على استخدامها واكتساب المهارة في ذلك عن طريق الممارسة المستمرة.

وفيما يلي نلخص بعض الأساليب والطرق التي تمكن المدرس من مساعدة تلاميذه في اكتساب المهارة في فرض الفروض واختبارها واختيار الصحيح منها:

يجب على المدرس أن يشجع التلاميذ على فرض الفروض للحل بغض النظر عن صحتها أو خطئها فان التلميذ الذي يفرض فرضا خاطئا للحل أفضل من هذا الذي لا يفكر في أي فرض على الإطلاق وكذلك يجب أن لا يغضب من الفرض الخاطئ ولكن يجب أن يساعد التلميذ على أن يرى الخطأ بنفسه عن طريق مساعدته على اختبار فروضه.
إذا لاحظ المدرس الارتباك على التلاميذ يستطيع أن يعطيهم الإرشادات نحو الاتجاه الصحيح من خلال أسئلة موجهة نحو هذه الإرشادات.
أن يشجع التلاميذ على أن يستخدموا الطريقة التحليلية في الحل أي يبدأ التلميذ بالمطلوب دائما ويجب أن يؤكد العلاقات المعطاة في المسألة إذا دعت الحاجة فان هذا التأكيد يساعد التلاميذ في فرض فروض الحل.
أن لا يصر المدرس على التفكير المنظم خطوة خطوة في مرحلة فرض الفروض بل يدع أفكار التلاميذ تنطلق على سجيتها ولكنه يجب أن يصر على أن يعطي التلميذ سببا لكل خطوه بمعنى أن يدعم التلميذ كل خطوة بتعريف أو مسلمة أو نظرية ولا يترك خطوة دون دعم.
أن يعود المدرس تلاميذه على أن يجربوا فروضا أخرى إذا اخفق الفرض الذي وضعه أولا.
يساعد على اختبار الفرض التحقق من صحة الإجابة فعندما يضع التلميذ فرضا لحل المسالة ويصل إلى نتيجة باستخدام هذا الفرض يجب أن يتأكد من صحة الفرض عن طريق اختبار ما إذا كانت هذه النتيجة تقود إلى نفس المعطيات وتحقق العلاقات المعطاة.

تمارا
18-01-2007, 04:13 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الطالب والرياضيات

تعد الرياضيات من المقررات التي تخاطب عقل الطالب وتنمي فيه الاكتشاف وحل المشكلات والقدرة على التعامل المنطقي مع ما حوله ، وهذه المادة تعتمد على الفهم و التطبيق ، أكثر من الحفظ والتذكر ومن هذا المنطلق تجد عدم القبول والاستيعاب ، لهذه المادة من قبل الطالب ، مما كان له الأثر الكبير في معرفة أسباب الفجوة والوقوف على الأسباب ومعرفة أسباب أخرى تحول بين الطالب وبين مادة الرياضيات .

الأسباب التي تحول بين الطالب وبين تحصيله لمادة الرياضيات من وجهة نظر الطالب::

* عدم قناعته بفائدة المادة
* عدم فهم الموضوعات في الأعوام السابقة
* عدم تمكن المعلم من توصيل المادة
* كثرة مواضيع المقرر في الفصل الواحد
* إحساسه بعدم ارتباطها بالحياة
* عدم مناسبة المقرر للمرحلة الدراسية
* تفاوت المعلمين في إيضاح المعلومة للطالب
* تدريس الرياضيات في الحصة الأخيرة
* قلة الأمثلة والتطبيقات التي ينفذها الطالب في الفصل
* قلة تمارين الواجبات المدرسية
* دور الإعلام في زرع الفجوة بيننا وبين الرياضيات
* أثر الجليس في التخويف من الرياضيات

تمارا
18-01-2007, 04:14 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الرياضيات سبب تطورنا

التقدم المعلوماتي الذي يعيشه العالم اليوم ، أصبح واقعاً أقرب إلى الحلم ؛ فقبل سنوات معدودات تبتسم عندما يقال لك أن بإمكانك قراءة ومطالعة جريدتك المفضلة وأنت في بيتك ومن غير أن تصل الجريدة إلى منزلك ، وبالمثل تصفح آلاف الكتب ، وانسدال الكثير من المعلومات بضغطة زر ، ودون حيز بالبيت يذكر .
والشواهد كثيرة ، من تدفق فضائي للمعلومة بمبلغ زهيد وبجهد قليل .

ومصدر هذا التقدم الهائل وقائده هو أم العلوم ( الرياضيات ) عبر الخطوات المنطقية ، وأسلوب حل المشكلات ، وعلم الرياضيات الذي سيطر على العالم أجمع ، وأصبح ومع مرور الأيام علم له أهميته الاستراتيجية للدول من كافة الأصعدة ، في التخطيط المستقبلي ودراسة السكان ، والاقتصاد ، والأمن .
حيث يبرز دورها في تعزيز الجوانب السلوكية الإيجابية في حياتنا ، من تنظيم الوقت في الطاعات ، والصلة ، والبر . وفي احترام المواعيد ودقتها التي هي قبل كل شيء خلق إسلامي نبيل .
فصاحب الرياضيات يتعامل مع الأجزاء ويهتم بها قبل الكل ، فزيادة السرعة بمقدار قليل يعتبر تجاوز للسرعة . والتأخر عن العمل دقائق كالمتأخر أكثر ، فهو يؤمن بأن المجموعة الجزئية للمجموعة تحمل خصائص المجموعة بشكل عام .
أما دورها في كبح وتحجيم الجوانب السلوكية السلبية ، من تحديد وحصر للمشكلة بمحيطها ، وجمع المعلومات حولها وربط المواقف المختلفة وفرض الفروض لها ، واتخاذ القرار الناجع بعد توقع تبعاته ومقارنته بغيره من القرارات . حيث أن للرياضيات خصائصها ومزاياها فهي تعلم وتنمي التفكير والتبرير ، وتدرب الطالب على حل مشكلاته وكيف يكون ناجحاً وواثقاً من نفسه .


إذ أن الطبيعة المجردة للعديد من المفاهيم والأفكار الرياضية تجعل من تعليمها وتعلمها عملية تحتاج لجهد أكبر مقارنة بغيرها من العلوم.

صفاء القلب
18-01-2007, 04:16 PM
كل الشكر اختي تمارا على الموضوع

وارجوا ان يستفيد منه من يدرسون هذا العلم

تمارا
18-01-2007, 04:17 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الرياضيات في اللغة واللغة في الرياضيات

يعتقد البعض أن هناك تباعدا بين الرياضيات واللغة مبنى على أن الرياضيات تتعامل مع الرموز والمجردات واللغة كما يقولون :" كل لفظ وضع لمعنى " . وأغلب الظن أن هذا التباعد مرده إلى وجود التباعد بين العاملين في مجال الرياضيات كمادة علمية وبين أهل اللغة أنفسهم ، حيث يعمل كل فريق بمعزل عن الآخر .



ونرى أن هناك علاقة وثيقة بين الرياضيات واللغة ، فكلاهما يعبر عن آليات الفرد الفكرية والوجدانية والإرادية ، فمن المستحيل تحليل أى صورة أو فكرة ذهنية إلى أجزائها أو خصائصها دون استخدام الألفاظ – وهى أداة اللغويين – أو دون استخدام الرموز - وهى أداة الرياضيين – فاللغة وعاء العلم وهى بهذا تمثل المادة الأساسية لعمليات التفكير لشتى صنوف المعرفة .

تمارا
18-01-2007, 04:18 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الكسور في التاريخ

عرف الإنسان الأرقام منذ أقدم العصور و إستعملها فى حساباته و تجارته و لكن متى عرف الإنسان كسور الأرقام ؟

منذ حوالى خمسة آلاف سنة ، فلقد وجدوا آثار رجل عاش فى بابل ( العراق ) قبل حوالى خمسة آلاف سنة و كان كاتب حسابات يحرر السجلات و ُيبين ما هى كمية القمح و أنواع الطعام التى كان الناس يعطونها للملك ، و قد بقيت هذه السجلات لفترة طويلة جداً لأنها كانت مكتوبة على أنواع من الصلصال الناعم ، و من ثم كانت الألواح تُحمص حتى تصبح صلبة .
* هناك دليل آخر على شكل رقم كان يستعمله كاتب الحسابات ، و هو يُبين .

شخصاً أحضر للملك وعاءً مليئاً فقط إلى نصفه بالقمح ، و علامة الكسر 2/1 هى صورة لوعاء مُقسم إلى جزئين .
- وقد إستعار كتبة الحسابات فى البلدان المجاورة فكرة الكسور إلا أنهم إخترعوا علاماتهم الخاصة بهم ، و بعد ذلك و فى الاماكن البعيدة تم إختراع الفكرة مرة أخرى ، و عند الإغريق القدماء حدث شئ غريب ، فقد رفض الأوروبيون إستعمال الكسور لأنهم كانوا يعتقدون أن الأرقام الكاملة أكثر أهمية و روعة من أن تُكسر إلا أن العبيد الإغريق تعلموا الحساب بالكسور ، و العبيد كانوا أولئك الذى كان عليهم إجراء العمليات الحسابية عملياً ، و الكسور هى أرقام عملية جداً .فيما بعد عندما بدأ التجار يقومون بالأعمال التجارية فى جميع أنحاء العالم كان عليهم أن يتعلموا الحساب ، و اخيراً تعلم تقريباً كل شخص ذهب إلى المدرسة الحساب و كان ذلك يعنى تعلم الكسور

تمارا
18-01-2007, 04:19 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

التدريس بالمقاربة بالكفاءات في المنهاج الجزائري

إن التطور الذي يشهده العلم حاليا يتطلب إعادة النظر في طرق التدريس وتكيفها مع الواقع المعاش.
إيتداءا من الموسم الدراسي 2004/2005 تم تغيير مناهج التعليم في الجزائر با لإنتقال من طريقة التدريس با لأهداف إل المقاربة بها.
وتتلخص الطريقة الجديدة في التخلي على أسلوب التلقين والحشو إذ أن كل درس يبدأ بأنشطة الهدف منها

دفع التلميذ لإستعمال مكتساباته القبلية وتوظيفها لإستنتاج قواعد ونظريات يصادق عليها من طرف الأستاذ ويتم تطبيقها في التمارين.
يبقى دور الأستاذ فعا لا في التوجيه وترك روح المبادرة للتلميذ ليكون له فضاءا أوسع للتطبيق.
.كما أن لتكنولوجية الإعلام والإتصال دور هام في صقل هذه المعلومات ونجاعتها , وتتجلى في إستعمال الحاسوب والآلة الحاسبة البيانية.
إن إدخال محاور جديدة كعلم الإحصاء وااٌحتمالات له إنعكاسات على التحصيل المعرفي لدى التلميذ وتهيئته للحياة العملية. إت جمع معلومات وتحليلها كفيل بدراسة ظاهرة ما دراسة دقيقة تكون محل قرارات واستنباطات.
من التاحية التقنية وتفاغلا مع متطلبات العصر تم إدراج الرموز اللاتينية كأداة تسهلة للتعبير الرياضي لوجودها قي معظم المراجع العالنية.
إن التكوين المستمر والإحتكاك وتبادل الآراء كفيلان بتجسين العملية التربوية.
ملاحظة / بهذا المقال المتواضع الذي سيكون له تابع في الأيام القادمة إن شاء الله
وددت فتح حوار مع زملائي في ميدان التربية والتعليم في جميع الأقطار العربية وتيادل الخبرا

تمارا
18-01-2007, 04:22 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

لماذا لا تتغير الصورة الكالحة عن الرياضيات

تعليم الرياضيات: ما الجدوى؟!
تعتبر مادة الرياضيات من أهم المواد العلمية الأساسية، فهي تعرف بمفتاح العلوم، وفي العصر الحديث امتد استخدام الرياضيات إلى مواد كان يظن أن ليس لها علاقة بالرياضيات، مثل اللغة والعلوم الاجتماعية والتربوية. فالرياضيات دخلت
مجال الدراسات اللغوية من باب التمثيل اللغوي والعلوم الاجتماعية والتربوية


من باب التحليل الإحصائي. وأصبحت الرياضيات مادة أساسية في كل حقل من حقول المعرفة، ولكن الحاجة إليها تختلف في الكمية والنوعية من حقل إلى حقل معرفي آخر. لذا فلا غرابة أن يكون نصيب مادة الرياضيات كبيراً في جدول الطالب. وأعتقد أن ليس هنالك خلاف على أهمية مادة الرياضيات، ولكن الخلاف هو في الكمية والنوعية في مناهج الرياضيات لطلاب التعليم العام. ومن الملاحظ حالياً حرص القائمين على التعليم على تطوير هذه المناهج بصورة مستمرة،

لما نرى من التعديلات المتتالية والمتسارعة للمناهج بين حين وآخر، وذلك سعياً لتقديم الأفضل للطلبة.
ولكن من الأشياء الملحوظة هي استمرار نسب الرسوب العالية في مادة الرياضيات مقارنة بالنسب الأخرى لبقية المواد برغم تغير المناهج عبر السنين، وكذلك الضعف العام في الرياضيات لخريجي التوجيهي. فيا ترى لماذا تستمر هذه النسب العالية للرسوب في مادة الرياضيات؟ أهي بسبب أن القدرات الرياضية عند كثير من الطلبة ضعيفة، أم أن معلمي ومعلمات الرياضيات لا يستطيعون توصيل المعلومات إلى الطلبة والطالبات، أم أن المناهج صعبة الفهم؟
قبل البدء في مناقشة ماذا يجب أن يدرس في مادة الرياضيات، نحتاج إلى أن نحدد أولاً الهدف من تدريس مادة الرياضيات! نعم هنالك أهداف عامة لا يختلف عليها اثنان، ولكن الاختلاف يكمن في التفاصيل والمحتويات وكيفية تحقيق تلك الأهداف. فمن بين هذه الأهداف أن يكون خريج الثانوية العامة قادراً على العمل والعطاء بشكل فعال في المجتمع، قادراً على مواصلة التعليم الجامعي والعالي.
إذن نستطيع تقسيم الطلبة إلى أربع فئات:
الأولى: من سيلتحق بالعمل مباشرة بعد الثانوية.
الثانية: من سيواصل التعليم في اختصاص لا يحتاج إلى الرياضيات بصورة أساسية (مثل العلوم الإنسانية)
الثالثة: من سيواصل التعليم في اختصاص يحتاج إلى الرياضيات بصورة أساسية (مثل العلوم الهندسية)
الرابعة: من سيواصل التعليم الجامعي في مجال الرياضيات بالتحديد.
فالفئة الرابعة أقل من 1% من نسبة خريجي الثانوية العامة، أما باقي الفئات فتقدر بــ 20% للفئة الأولى، وبــ 50% للفئة الثانية، وبــ 29% للفئة الثالثة. وعلى هذا فيجب أن يمثل المنهج واقع الاستخدام الفعلي للرياضيات، أي أن حجم المادة التخصصية في المنهج يجب أن لا تتعدى 1% وحجم الرياضيات ذات التطبيق العلمي لا تتعدى 29%، وباقي المنهج (70%) يجب أن يحتوي على الرياضيات العملية التي يحتاج إليها معظم المجتمع. بمعنى آخر إذا كان أكثر من 70% من المنهج لا يستطيع أن يفهمه عامة الناس فهو لا يخدم المجتمع على الوجه المطلوب.
يكثر التنظير في نوعية مناهج الرياضيات وطرائق تدريسها، ولكن ما هو ناجح على أرض الواقع قليل جداً، وكثير من التجارب والإحصائيات التي أجريت تبدو ناجحة في ميدان التجربة ولكن عند التطبيق الفعلي لها تفشل. فعلى سبيل المثال تجربة الرياضيات الحديثة التي نادى بها كثير من علماء الرياضيات، والتي تبنتها منظمة اليونسكو ظناً منها أنها وسيلة جيدة لتطوير تعليم الرياضيات في الدول النامية. فالرياضيات الحديثة أعطت في حقل التجارب نتائج جيدة حسب مقاييس الباحثين، ولكن عندما طبقت على أرض الواقع باءت بالفشل. ولو أن هنالك اختلافات حول فشلها، وهنالك من لا يزال يجادل بأنها ناجحة، فالرد على ذلك ليس بإجراء تجربة ثالثة ورابعة، ولكن علينا ببساطة أن نحصي عدد الدول المتقدمة التي مازالت تدرس الرياضيات الحديثة كمنهج رياضيات أساسي. حسب علمي فإن فرنسا -والتي كانت من أوائل المطبقين لها- بدأت بترك فكرة الرياضيات الحديثة، أما بريطانيا والولايات المتحدة واليابان فلم يتبنوا هذه المناهج أصلاً، رغم أن منظمة اليونسكو قد تبنتها! ففي هذه الدول بقي تعليم الرياضيات على الطريقة التقليدية مع إضافة أشياء قليلة من الرياضيات الحديثة وتطوير في طرائق العرض، ولكن بقيت المادة الأساسية كما كانت. ففي بريطانيا والولايات المتحدة تدرس مادة الرياضيات الحديثة كمادة مستقلة اختيارية لمرحلة الثانوية.
وماذا عن الرياضيات الحديثة؟ الواقع أنها ليست بتلك الحديثة فعمرها تجاوز المائة عام، فيا ترى هل هي فعلاً حديثة؟ قد يعتمد الجواب على سن القارىء! ومع هذا العمر مازالت تحتوي على عدد من المتناقضات التي لم تحسم بعد، بالإضافة إلى هذا فهي مبنية على نظريات تجريدية بحتة، لا أعتقد أن معظم المجتمع بحاجة إليها أو يستطيع استيعابها. إذاً لا عجب أن تكون نسبة الرسوب في مادة الرياضيات عالية. نعم المناهج الحالية لم تعد تسمى بالرياضيات الحديثة كما كانت في السابق، ولكن مازال كثير من فضلاتها تتخلل المناهج.
هنالك جدل فلسفي بين علماء الرياضيات حول أساسات الرياضيات، وأن نظريات المجموعات تمثل الأساس الجيد للرياضيات، وهذا الجدل يسمى بأزمة أساسات الرياضيات. ولكن لماذا نقحم هؤلاء الطلبة المساكين في فلسفات عن مجموعة فارغة «فاي». حتى لو كانت أساساً جيداً لعلم الرياضيات، فهذا لا يعني أن تدريسها مناسب للتعليم العام. فالرياضيات الحديثة ليس من السهل ربطها بتطبيقات عملية تشعر الطالب بأهميتها. فلا عجب أن تتحول مادة الرياضيات إلى محفوظات عند كثير من الطلبة، فقط احفظ النظريات والبراهين لتطبعها في الاختبار ودعك من الفائدة من هذه النظريات. بهذا نخرج طلبة لاهم الذين استطاعوا فهم الرياضيات التجريدية البحتة ولا بالذين أخذوا ما يفيدهم في حياتهم العملية.
في تصوري أن تصميم المنهج لا يبدأ بالمادة ثم يبحث عن كيف تدرس هذه المادة، ولكن الواجب أن نطرح السؤال ماذا نريد من هذه المادة؟، هل نريد من الطالب أن يكون فيلسوفاً في الرياضيات أو متخصصاً فيها، فإن كنا لا نريد هذه ولا تلك وجب علينا النظر فيما سيستخدم المتعلم هذه المادة. فجميع الطلبة سيحتاجون إلى مادة الرياضيات في الحياة العملية، وبعضهم يحتاج إليها في تخصصاتهم الدراسية ولكن بكميات متفاوتة. إذاً نستطيع تحديد المهارات الرياضية التي يحتاج إليها الطالب في حياته العلمية والعملية في البنود التالية:
01 الحساب (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة)
02 الأشكال الهندسية البسيطة.
03مبادىء الهندسة.
04 حساب المساحة والحجم.
05التمثيل الرياضي المجرد للأشياء المحسوسة.
06 المعادلات الجبرية البسيطة.
07 مبادىء الإحصاء.
08 الرسم البياني.
لا يسمح المجال هنا إلى الدخول في التفاصيل، ولكن هذه رؤوس أقلام لجميع مراحل التعليم، ويتدرج المنهج فيها حسب المرحلة. فمثلاً يكتفي طلبة الابتدائي أن تكون لديهم مهارة الحساب وبعض الأشكال الهندسية، والمرحلة المتوسطة تركز على مبادىء الهندسة وحساب المساحة والحجم، وكذلك جزء من التمثيل الرياضي. وأما المرحلة الثانوية فتراجع مرحلة المتوسطة وتستكمل باقي البنود، مع ملاحظة أن في المرحلة الثانوية تكون كثافة المادة حسب التخصص. فقسم الأدبي لا تحذف منه مادة الرياضيات بالكامل ولكن تكون كمية المادة متناسبة مع تخصصهم، وكذلك في القسم العلمي تكون الكمية حسب حاجتهم لدراسة المواد العلمية الأخرى. وعليه فحجم الكتب وعدد ساعات الدراسة في مادة الرياضيات تخفض بما يتناسب مع هذه الخطة.
نعم المناهج الحالية تغطي هذه البنود بشكل أو بآخر، ولكنها مغمورة تحت كم هائل من النظريات والبراهين والتعاريف ونظرية طالس وما أدراك ما نظرية طالس! وكلام لا ينتهي عن المجموعات الفارغة والمتجهات والمصفوفات التي لا يكاد يفهمها الجامعي فما بالك بطالب التعليم العام. لذا يجب ألا يتعدى عدد النظريات في الفصل الدراسي عن نظرية واحدة، ولا يطالب الطالب بحفظها أو حفظ بُرهانها وإنما فقط بمعرفة كيف يطبقها، فليس الهدف هو النظرية بحد ذاتها، ولكن التطبيق هو الأهم. فالنظريات بطبيعتها لها طرائق محدودة لبرهنتها، ولا مجال للطالب العادي أن يُبدع في البرهنة، وإن أبدع ففي الغالب لن يتعرف المعلم على هذا الإبداع، وسيعتبر البرهان المبتدع خطأ؛ لأنه ليس كما في نص الكتاب!. فعلى سبيل المثال نظرية فيثاغورس لأطوال المثلث قائم الزاوية كثيراً ما يطلب من الطالب في الاختبار برهنتها، والسبب الذي يقدم هو أنه إذا تعلم الطالب البرهنة فإن القدرة المنطقية عنده تنمو في تحليل المسائل الرياضية، ولكن الواقع المر أن الطالب فقط يحفظ البرهان كما هو في الكتاب ليعيد طباعته في ورقة الإجابة. وأعتقد أنه من الأفضل أن يتعرف الطالب على النظرية وتطبيقها، ولا بأس من وضع البرهان كمعلومة إضافية. وتتركز تمارين الكتاب وأسئلة الاختبار على التطبيق العملي للنظرية، ولا بأس من طباعة النظرية في ورقة الاختبار؛ لأن الهدف ليس الحفظ، ولكن الهدف هو معرفة التطبيق. وهذا ما يحدث في الحياة العملية، فالنظريات في متناول أي شخص من أي كتاب رياضيات ولكن القدرة على التطبيق لا يستطيع أن يكتسبها من الكتاب فقط، فهو بحاجة إلى شرح المعلم وممارسة النظرية ليكتسب مهارة تطبيق الرياضيات.
فالقدرة على تحويل المشكلات العلمية إلى معادلات رياضية ومن ثم تطبيق النظريات الرياضية لحلها هو ما
يحتاج إليه الإنسان في حياته العلمية والعملية، كما هو الحال في مجال الحاسوب والتجارة. ومن أراد أن يستزيد من التنظير والنظريات فقسم الرياضيات في الجامعة مفتوح لمن لهم القدرة على ذلك.
فمادة الرياضيات قابلة للتبسيط، وذلك بالتركيز على الحاجة الفعلية وإلا فهنالك آلاف النظريات الرياضية، ويضاف إليها أكثر من عشرين ألف نظرية جديدة سنوياً تودع في بطون المجلدات، وما يصل إلى التطبيق قليل جداً، ولكن عندما يوجد للنظرية تطبيق تساهم في دفع عجلة التقدم العلمي والتقني بشكل فعال. فعندما يرى الطالب أن النظرية لها تطبيق عملي يلمس فائدة الرياضيات، وهذا يعطيه الدافع للتزود من المادة وإلا فسنبقى نسمع السؤال الذي يتكرر باستمرار على ألسنة الطلبة والطالبات وهو: ما الفائدة من الرياضيات؟.
فهذا السؤال الذي نسمعه كل يوم وآخر، لم يطرح إلا لأن الفائدة غير ملموسة في مناهج الرياضيات الحالية. وتلك النقاط التي ذكرت قد تكون قليلة لمن هم متخصصون في الرياضيات، ولكن لو استوعب الطالب هذه النقاط بشكل جيد عند تخرجه في الثانوية سواء كان متخصصاً في الأدبي أو العلمي لكفته بإذن الله لكل حاجاته العملية والعلمية.

تمارا
18-01-2007, 04:26 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

ضعف أداء النساء في الرياضيات يعود لتركيبة الجينات

كتبه ::حكيم أحد أعضا منتديات يزيد ::
تظهر البحوث الحديثة أن النساء اللواتي يتم إخبارهن بأنهن ضعيفات في الرياضيات لأسباب جينية، يتبنين هذا القول، ويصبحن ضعيفات بالفعل في هذه المادة.
والحقيقة أن الفروقات بين مواهب النساء والرجال في الرياضيات تعود إلى المعلومات الخاطئة ، وليس إلى الجينات كما تفيد البحوث الحديثة التي تم إجراؤها في إحدى المدن الكندية.
وأفاد تقرير تم نشره الثلاثاء الماضي في مجلة "العلوم" أن النساء اللواتي قيل لهن إنهن ضعيفات في الرياضيات،أصبحن بالفعل كذلك مقارنة بالنساء اللواتي لم يقل لهن ذلك. ويعتبر "جنس الدماغ" الذي يركز على الفروقات الجينية بين أدمغة الرجال والنساء

موضوعاً ساخناً في الوقت الراهن. وكان الموضوع من السخونة بحيث اضطر لورنس سمرز رئيس جامعة هارفارد، إلى الاستقالة، وسط ضجة شديدة بعد تصريحاته التي قال فيها إن لدى النساء قدرات أقل في الرياضيات والعلوم مقارنة بالرجال.
ودرس ستيفن هاين، وإلان دار- نيمورد عالما النفس، اللذان كتبا تقرير مجلة "العلوم"، حالة 220 سيدة تم إخبارهن بالكلام المزيف حول تخلف النساء مقارنة بالرجال حين يتعلق الأمر بالرياضيات. وادعى البيان المزيف أن كروموسوم Y)) ، الذي يملكه الرجال فقط، يتسبب في زيادة قدراتهم في الرياضيات بنسبة 5 في المائة.
وادعى جانب آخر من البيان المزيف أن الرجال يتفوقون بنسبة 5 في المائة على النساء في الرياضيات، لأن المعلمين يميزون هذا الفرق بين الجنسين في مراحل مبكرة من التعليم.
وأفاد التقرير العلمي أن معدل أداء النساء اللواتي تعرضن للمعلومات الزائفة كان أقل من المعدل العام للأداء. وأضاف أن الناس يمكن أن يتخطوا العقبات العادية المتعلقة بالتعليم، أما ما يتعلق بالاعتقاد بالتخلف فإنهم يقفون إزاءه عاجزين.
ويعتقد الناس أن الجينات تمثل محور كياناتنا، إلا أن معظم البحوث الجينية لم يتم إقرارها بعد، كما يقول هذان الاستاذان في جامعة بريتش كولمبيا.
وقال الأستاذ هاين في مقابلة " إن مجرد إثارة التساؤل حول الجينات يولد العديد من المشاكل، وإن العلم الخاص بأثر الجينات على الجنس، والسمنة والشذوذ، يتعرض إلى تبسيط شديد في الأخبار التي تتناقلها وسائل الإعلام". وإن من شأن التقارير أن تؤدي إلى إحباط حوافز الأفراد. فإذا اعتقدت أن الجينات لها أثر حاسم على وزني، فهل أستمر في مراعاة العادات الغذائية الجيدة، والمحافظة على التمارين؟.
والواقع أن الأبحاث الجينية تمثل في أيامنا هذه صناعة مزدهرة ، حيث يحدد العلماء جيناً جديداً كل أسبوع. غير أن الجينات تعمل بطرق معقدة لم يفهمها العلماء بعد.

حتى لا تزعل علي مشرفتنا نظرية وبقية الأخوات ما أردته من هذا النقل هو القول بأهمية الإيحاءات في التأثير على النفس وفي مجال التعليم خصوصا فكيف ستكون نتائج الدراسة لو أنها أوحت للعينة بأن النساء أفضل أداء في الرياضيات وأن كروموسوم " Y " يتسبب في نقص قدرات الرجال بقدار 5% في الرياضيات .
أعتقد أن للرسائل الإيجابية دور في برمجة العقل الباطن نحو الحصول على نتائج أفضل في التعلم .
فهل نستخدمها مع أولادنا وطلابنا ؟؟ !!
وكل عام وانتم بخير-نقلا عن جريدة الإقتصادية

تمارا
18-01-2007, 04:27 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

أهداف تدريس الرياضيات في المجال المعرفي

المستوى الأول :
أولا: مستوى المعرفة والمعلومات ( التذكر): ويقصد فيه القدرة على تذكر المعلومات والتعريفات والمصطلحات والمفاهيم. ومن المستويات الفرعية لهذا المستوى : معرفة المصطلحات:
1- المصطلح: هو ذكر ماهية الشيء.
2- التعريف: هو تعريف عن شيء معين بالكلام والعبارات.
3- المفهوم: هو عبارة عن صورة ذهنية مجردة تتكون لدى التلميذ.
معرفة حقائق خاصة:ويتطلب هذا المستوى أن يسترجع التلميذ القوانين و...




العلاقات القائمة بين أجزاء بعض الوحدات.
معرفة طرق التعامل مع الخصوصيات: وهو يشمل على معرفة العادات المتبعة في حل المسائل الرياضية ومعرفة التصنيفات والفرعيات.
معرفة الأساسيات والتعميمات: وهو يشمل التجريدات الرياضية والأساسيات والتعميمات كذل يندرج تحت هذا المستوى النظريات الرياضية ومبادئ المنطق الرئيسية.
ثانيا: المهارات والأساليب الرياضية ( طرق الحل): ويقصد فيه معرفة مدى قدرة التلميذ في إجراء التعليمات الحسابية بدقة بقرار الأمثلة التي شاهداها في الفصل .
المستوى الثاني : الاستيعاب أولا : الترجمة: وهو عبارة عن عملية عقلية لتغيير الأفكار من صورة رياضية إلى صورة أخرى مكافئة لها. ومن مميزات هذه العملية أن التفكير المستخدم فيها لا يتطلب تطبيق أو اكتشاف.
ثانيا: التفسير: هو السلوك الرئيسي في تحديد وفهم الأوضاع الرئيسية الموجودة في وسيلة اتصال ما ويقصد به تحديد سبب حدوث الخطوة في المسالة لرياضية.
ثالثا: التنبؤ: القدرة على استنتاج معلومات جديدة من خلال معلومات معطاة. والتنبؤ جزء من التفسير.
المستوى الثالث : التطبيق : هو القدرة على تطبيق المستويين السابقين ( التذكر والفهم) في مواقف جديدة ذات طرق غير مألوفة. حيث يتم تطبيق المعرفة والفهم في مواقف تتصف بالجدة والطرافة فطريقة الحل في هذا المستوى لا تهتم بالحل نفسه إنما في بناء خطوات الحل .
المستوى الرابع : القدرات العليا : أولا : التحليل: هو الدراسة الرياضية للعمليات النهائية من حيث القدرة على تجزئة البيانات إلى أجزاء رياضية محددة تتجه نحو حل الموقف الرياضي. وينقسم إلى ( تحليل العناصر – تحليل العلاقات – تحليل الأساسيات)
ثانيا: التركيب: هو العملية التي يقوم التلميذ من خلالها بتجميع الأفكار التي سبق تحليلها في عملية التحليل في ضوء المطلوب من السؤال.
ثالثا: التقويم: هو القدرة في الحكم على أداء أعمال وأقوال وحلول وطرق.وهو يقوم على معايير معينة ومستويات محددة بحيث تكون كيفية أو كمية . وينقسم التقويم إلى ( الحكم في ظل الأدلة الداخلية – الحكم في ضوء المعايير الخارجية)
المفاهيم الرياضية : يقصد بالمفاهيم الرياضية أنها تجريد ذهني لخصائص مشتركة لمجموعة من الظواهر أو المصطلحات ذات الصلة. ولها دور فعال في عملية التعلم .
أولا: شروط المفاهيم: شرط الإثبات: يشير هذا الشرط إلى إثبات أو تطبيق صفة مميزة معينة على شيء أو مثير ما ليكون مثالا على المفهوم.
الشرط الربطي: يقصد فيه وجود صفتين مميزتين أو أكثر ينبغي توافرهما معا في الشيء أو المثير لكي يكون مثالا على المفهوم.
الشرط الفصلي أو اللاإقتراني: هو تطبيق صفات مميزة منفصلة أو غير مقترنة بالأشياء أو المثيرات لتشكل أمثلة على المفهوم.
الشرط المفرد: يشير هذا الشرط إلى وجوب توافر صفة مميزة معينة إذا توافرت صفة مميزة أخرى لتحديد مثال على المفهوم.
الشرط المزدوج: ينص على توفر شرط متبادل بين صفتين بحيث إذا توافرت الأخرى حتما لتحديد أمثلة على المفهوم.
ثانيا: تحركات تدريس المفاهيم الرياضية:
1- تحرك الخاصية الواحدة ----> يقدم المعلم خاصية واحدة للمفهوم.
2- تحرك التحديد ----> يحدد المعلم الشيء الذي يطلق عليه المفهوم .
3- تحرك المقارنة ----> يحدد المعلم مفهوما ويبرز أوجه الشبه والاختلاف بينه وبين مفهوم أخر.
4- تحرك المثال( أمثلة الانتماء) ----> يعطي المعلم مثالا على المفهوم.
5- تحرك اللامثال ( أمثلة عدم الانتماء) ---> يعطي المعلم أمثلة تعاكس الأمثلة المنتمية إلى المفهوم.
6- تحرك التعريف ----> يعطي المعلم التعريف اللفظي للمفهوم وهو الأكثر شيوعا.
التعميمات والمبادئ الرياضية: هو عبارة تحدد علاقة بين مفهومين أو أكثر من المفاهيم الرياضية. ويدرس بطريقتين الأولى ( العرض المباشر) الثانية ( طريقة الاستقراء)
أولا : طريقة العرض في تدريس التعميمات الرياضية:
1- تحرك التقدم----> يقدم المعلم مقدمة تمهيدية عن التعميم.
2- تحرك الصياغة مع التفسير----> يعطي المعلم صياغة كلامية للتعميم.
3- تحرك الأمثلة----> يعطي المعلم أمثلة عن التعميم.
4- تحرك التدريب----> يطلب المعلم من الطلاب إعطاء أمثلة عن التعميم لم يتم ذكرها بالدرس.
ثانيا: الطريقة الاستقرائية في تدريس التعميمات الرياضية:
هي عبارة عن سلسلة من التحركات والأنشطة حيث تختلف عن طريقة العرض في موقع تحرك صياغة التعميم أي أن في الطريقة الاستقرائية تأتي صياغة التعميم في موقع متأخر من تلك السلسة.

تمارا
18-01-2007, 04:30 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الرياضيات وعلومها 1

العلوم عند العرب والمسلمين

الرياضيات وعلومها ومؤلفاتها

الرياضيات من العلوم التي برع فيها العرب والمسلمون، وأضافوا إليها إضافات كانت من جملة أسباب تطور هذا العلم في العصر الحديث. فقد تقدم هذا العلم بفضل العرب خلال القرنين التاسع والعاشر للميلاد. فبعد أن اطلعوا على حساب الهنود أخذوا عنه نظام الترقيم بدلاً عن نظام الترقيم على حساب الجُمَّل. . وكان الحساب العربي ينطلق من ثلاثة أصول: حساب اليد،


ويدعى أيضًا حساب العقود. لأن الحاسب كان يعقد أصابعه حين العد، وقد يكون خليطًا من المعارف الحسابية التي أخذوها عن الفرس والروم. وحساب موروث الترجمة، وهو الذي نقل عن الإغريق إبان حركة الترجمة ويتمثل في معارف متفرقة عن الجبر وخصائص الأعداد. والحساب الهندي، الذي انتقل عبر عدة قنوات. أخذ العرب أرقام هذا الحساب دون أشكالها. وتبنّى العرب سلسلتيْن من بين عدد كبير من الأشكال عرفت إحداهما بالأرقام الهندية وهي 1، 2،
3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. وعُرِفت الأخرى بالأرقام العربية 9 ،8 ،7 ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1. انتشرت الأخيرة في بلاد المغرب العربي والأندلس ومنها انتشرت إلى أوروبا من خلال المعاملات التجارية والرحلات والسفارات التي كانت بين الخلفاء وملوك بعض دول أوروبا.

لم تعرف الأرقام العربية بهذا الاسم في بادئ الأمر، بل كانت تسمى الأرقام الغبارية. والأصل في تسميتها بهذا الاسم أن الهنود كانوا يأخذون غبارًا لطيفًا ويبسطونه على لوح مستوٍ من الخشب أو خلافه ويرسمون عليه الأرقام التي يحتاجون إليها في معاملاتهم الحسابية والتجارية. والسلسلة الغبارية (العربية) مرتبة على أساس الزوايا؛ كما في بعض الساعات الرقمية أو الحواسيب في هذه الأيام. فالرقم واحد به زاوية واحدة واثنان زاويتان وهكذا كما يلي:



كما اشتغل العرب بالجبر وبرعوا في ذلك وربطوه بالأشكال الهندسية، وهم أول من أطلق لفظة جبر على هذا العلم، وهم أول من ألف فيه بطريقة علمية منظمة، كما توسعوا في حساب المثلثات وبحوث النسبة وقسموها إلى ثلاثة أقسام: عددية وهندسية وتأليفية. كما حلوا بعض معادلات الدرجة الأولى بطريقة حساب الخطأين وكذلك معادلات الدرجة الثالثة، وأحلوا الجيوب محل الأوتار، وأتوا بنظريات أساسية جديدة لحل مثلثات الأضلاع. وإلى العرب يرجع الفضل في وضع علم المثلثات بشكل علمي منظم مستقل عن الفلك مما حدا بالكثيرين إلى اعتباره علمًا عربياً كما اعتبروا الهندسة علمًا يونانياً.



الحساب. استخدم العرب منذ الجاهلية إلى صدر العصر العباسي طريقتين للعد الحسابي؛ فكانوا إذا أرادوا أن يسجلوا عددًا في البيع والشراء أو الإرث أو الكيل وخلافها، دوّنوه كتابة بالحروف هكذا تسعمائة وخمسون دينارًا أو بحساب الجمّل هكذا (ظن) حيث قيمة الظاء في هذا الحساب 900 والنون 50. وكان العرب قد اقتبسوا فكرة حساب الجمّل من جيرانهم أو من البلاد التي فتحوها، وهذا الحساب اختراع ساميّ الأصل. .

كان الهنود يستعملون سونيا وتعني الفراغ أو الخواء لتدل على كلمة صفر، وكان العرب يستخدمون هذا اللفظ (صفر) للدلالة على معنى الخلوّ منذ أمد بعيد. ومن ذلك قولهم صفر اليدين؛ أي خالي اليدين ومنها صَفَر الشهر المعروف. وقد كان الصِّفر العربي يرسم في الأصل حلقة صغيرة وسطها فراغ وبقيت على ذلك في المغرب الإسلامي والأندلس، بينما انطمست في المشرق فصارت نقطة للتفريق بين الصفر والرقم 5 (خمسة). وقد ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية تعود إلى سنة 274هـ، 787م وذلك قبل أن تظهر في الكتب الهندية.

تقوم الأرقام العربية على النظام العشري والنظام الكسري الذي أوجده العرب واستخدموه في حساباتهم ومعاملاتهم منذ وقت مبكر. فقد استعمله إبراهيم الأقليدسي في أوائل القرن الرابع الهجري. وباستخدام الأرقام والصفر سهل حل المسائل الحسابية وتدوين الكسور العشرية والعادية وبناء المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات وحلها.

قسّم العرب الحساب العملي إلى غباري، وقصدوا به ذلك الحساب الذي يحتاج إلى أدوات لاستخراج نتائجه؛ كالقلم والورق أو التخت (اللوح ـ السبورة). وهوائي وهو الذي تجرى عملياته في الذهن ولا يحتاج إلى أدوات. وأكثر الناس استخدامًا له التُّجار والمتعاملون معهم في الحساب الفوري. وبالإضافة للحساب الغباري والهوائي، قسّموا الحساب إلى بابيْن الأول يشمل الأرقام الصحيحة، والثاني يشمل الكسور. وذكروا تحت كل منهما فروعًا تختص بالعمليات التي يتناولها كل منهما؛ من ذلك الجمع والتضعيف والضرب، والتنصيف والتفريق (الطرح) والقسمة والتجذير أو استخراج الجذور.

قسّم العرب الأعداد أيضًا إلى عاد (واحد) ومعدود (بقية الأعداد). وكان هذا من وحي فلسفة إخوان الصفا التي تقول: ¸الواحد أصل الأعداد ومنشؤها؛ تأتي جميعها منه وهو مخالف لها. وتنشأ الأعداد من الواحد صعودًا: 1، 2، 3، 4… إلخ؛ وهبوطًا 1، 1/2، 1/4، 1/8، 1/16 … إلخ. كما قسّم الرياضيون العرب الأعداد إلى أزواج (زوجية) وأفراد (فردية) وبيّنوا أنواعها بالتفصيل، وقسّموا العدد إلى أربعة أنواع: تام، وزائد، وناقص، ومتحاب؛ فالتام هو الذي إذا جمعت عوامله فحاصل الجمع يساوي العدد نفسه؛ فمثلاً عوامل 28 هي: 1، 2، 4، 7، 14 فإذا جُمعت صارت 28. والزائد هو الذي إذا جمعت عوامله كان حاصل الجمع أكبر من العدد نفسه؛ فمثلاً عوامل العدد 12 هي: 1، 2، 3، 4، 6، فإذا جُمعت صارت 16؛ أي أكبر من العدد 12. والناقص هو الذي إذا جُمعت عوامله كان حاصل الجمع أقل من العدد فمثلاً عوامل العدد 10 هي: 1، 2، 5 فإذا جُمعت صارت 8؛ أي أقل من العدد 10. أما الأعداد المتحابة فهي أزواج من الأعداد يكون مجموع عوامل أحدها يساوي الثاني، ومجموع عوامل الثاني يساوي الأول؛ فمثلاً العددان 220 و284 متحابان لأن عوامل 220 هي: 1، 2، 4، 5، 10، 11، 20، 22، 44، 55، 110 وحاصل جمعها 284، وعوامل 284 هي: 1، 2، 4، 71، 142 وحاصل جمعهما 220.

كان العرب أول من اكتشف علامة الكسر العشري، وكان أول ذكر لها في كتاب غياث الدين جمشيد الكاشي (ت نحو 828هـ، 1424م) بعنوان كتاب مفتاح الحساب، وكان ذلك قبل 175 سنة من ستيفن الذي ينسب له هذا الاكتشاف. وقد ذكر الكاشي النسبة بين محيط الدائرة وقطرها (ط) بالكسر العشري وذلك في كتابه الرسالة المحيطة، وقد أعطى قيمة 2ط لستة عشر رقمًا عشرياً كما يلي:

2ط = 6,283185071795865.

أي أن ط = 3,1415925358979325

ولم يسبقه أحد في الوصول إلى هذه النسبة الدقيقة.

توصل الرياضيون العرب والمسلمون إلى طرق ميسّرة لإجراء شتى العمليات الحسابية؛ ففي الجمع مثلاً كانت لديهم طرق مختلفة لجمع الأعداد، بعضها يمكن استخدامه الآن في المدارس الابتدائية، وتتلخص في زيادة خانة قبل المجموع تسمى خانة المحفوظات، وهذه صورة من صور ذلك:

لجمع 3663 ، 54288 ، 106



وفي القسمة والضرب استخدموا طرقًا عديدة يكاد بعضها يطابق ما نستخدمه اليوم. ويقول ليوناردو فيبوناتشي، أحد علماء الرياضيات الإيطاليين في القرن السابع الهجري، الثالث عشر الميلادي، أنه تعلّم طريقة القسمة لأول مرة من أساتذته علماء العرب والمسلمين في صقلية. وأن تطويرهم لطريقة القسمة تنم عن خبرة رياضية عظيمة لا يستهان بها. أما في الضرب فقد ابتكروا طرقًا عديدة بعضها فيه الطرافة أو ما يمكن أن نطلق عليه رياضيات التسلية عند العرب. من أطرف هذه الطرق وأمتعها طريقة الشبكة وقد وردت في كتاب خلاصة الحساب لبهاء الدين العاملي (ت 1031هـ، 1622م). فمثلاً لضرب 235 × 47 نتبع ما يلي:

نرسم مستطيلاً مقسمًا إلى 3 خانات أفقية وخانتيْن رأسيتيْن، نضع الرقم 235 أعلى المستطيل على الخانات الأفقية كما في الشكل، ونضع العدد 47 على يسار الخانتين الرأسيتيْن. ثم نضرب العدد 7 × 2 ونضع الحاصل 14 في الخانة الأولى تحت العدد 2، ونضرب 7 × 3 ونضع الحاصل 21 في الخانة الثانية، ثم نضرب 7 × 5 ونضع الحاصل 35 في الخانة الثالثة. كذلك نضرب الـ 4 في كل من 2، 3 و5 ونضع حاصل ضرب كل منها في خانات الصف الثاني، وبجمع الأعداد كما في الشكل نحصل على حاصل الضرب وهو 11,045.



وتوجد طرق كثيرة غير هذه، فيها المتعة والصعوبة التي يعشقها المهتمون بالرياضيات كان يطلق عليها العرب اسم الملح الاختصارية.


بعد أن توسع العرب في بحوث النسبة استفادوا من الفرع الثالث فيها، وهو النسبة التأليفية، واستخرجوا منها الأنغام والألحان. من أمثال ذلك ما أورده إخوان الصفا ¸نغمة الزير رقيق خفيف، ونغمة اليمّ غليظ ثقيل؛ والرقيق ضد الغليظ، والخفيف ضد الثقيل وهما متباينان متنافران لا يجتمعان ولا يأتلفان إلا بمركب ومؤلف يؤلفهما، ومتى لا يكون التأليف على النسبة لا يمتزجان ولا يتحدان، ولا يستلذهما السمع، فمتى ألِّفا على النسبة ائتلفا وصارا كنغمة واحدة لا يميز السمع بينهما، وتستلذهما الطبيعة، وتسر بهما النفس·. وعدّ العرب الموسيقى من بين العلوم الرياضية، وكانت الرياضيات عندهم فرعًا من فروع الفلسفة، ويبدو ذلك جلياً عند ابن خلدون إذ يقول في المقدمة ¸وعلم الموسيقى هو معرفة نسب الأصوات والنغم بعضها من بعض، وتقديرها بالعدد، وثمرته معرفة تلاحين الغناء·.

كان إخوان الصفا من أفضل من تناول موضوعات التناسب وكيفية استخراج المجهول بوساطتها، بل ربطوا بينها وبين الميكانيكا وسائر فروع علم الفيزياء والمثلثات والفلك فإن من فوائد النسبة لديهم ¸… ما يظهر في الأبعاد والأثقال من المنافع… ومن أمثال ذلك ما يظهر في ظل الأشخاص من التناسب بينها، وذلك أن كل شخص مستوي القَدّ، منتصب القوام، فإن له ظلا، وأن نسبة طول ظل ذلك الشخص إلى طول قامته في جميع الأوقات كنسبة جيب الارتفاع في ذلك إلى جيب تمام الارتفاع سواء. وهذا لا يعرفه إلا المهندسون أو من يحل الزيج؛ وهكذا توجد هذه النسبة في جر الثقيل بالخفيف، وفي تحريك المحرك زمانًا طويلاً بلا ثقل ثقيل. وذلك ما يظهر أيضًا في الأجسام الطافية فوق الماء ما بين أثقالها ومقعر أجرامها في الماء من التناسب؛ وذلك أن كل جسم يطفو فوق الماء، فإن مكانه المقعر يسع من الماء بمقدار وزنه سواء. فإن كان ذلك الجسم لا يسع مقعره بوزنه من الماء، فإن ذلك الجسم يرسب في الماء ولا يطفو وإن كان ذلك المقعر يسع بوزنه من الماء سواء؛ فإن ذلك الجسم لا يرسب في الماء، ولا يبقى منه شيء ناتئ عن الماء، بل يبقى سطحه مستويًا مع سطح الماء سواء. وكل جسمين طافيين فوق الماء، فإن نسبة سعة مقعر أحدهما إلى الآخر كنسبة ثقل أحدهما إلى الآخر سواء. وهذه الأشياء التي ذكرناها يعرفها كل من كان يتعاطى صناعة الحركات أو كان عالماً بمراكز الأثقال والأفلاك والأجرام والأبعاد·.

كانت كتب الحساب التطبيقية زاخرة بالأمثلة والتمارين الرياضية، وكانت تتناول مسائل واقعية معمولاً بها آنذاك؛ فمنها ما يتناول المعاملات التجارية ومنها ما يتناول الزكاة والصدقة وتقسيم الغنائم ورواتب الجند. كما تطرقوا إلى البريد واللحاق به وإلى طرق البيع والشراء وهذه ميزة في مؤلفاتهم كلها دون استثناء. وعرفوا المتواليات الحسابية والهندسية بأنواعها، فذكروا قوانين خاصة لجمعها. كما بنوا قواعد لاستخراج الجذور ولجمع المربعات المتوالية والمكعبات، وبرهنوا على صحتها، وتوصلوا إلى نتائج طريفة في ذلك.

استخرج رياضيو العرب والمسلمين المجاهيل العددية عن طريق التحليل بطريقتين أخرييْن قلما يعرفهما شخص في العصر الحديث سوى المتخصصين في الرياضيات. وهاتان الطريقتان هما حساب الخطأين، والتحليل والتعاكس. وكانت لهم مؤلفات في ذلك منها كتاب الخطأين لأبي كامل الحاسب المصري وكتاب حساب الخطأين ليعقوب بن محمد الرازي وغيرهما. وكانت هاتان الطريقتان شائعتين عند العرب، وأكثر استخدامًا من غيرهما. وإليك هذين المثالين: الأول يوضح طريقة الحساب والخطأ، والثاني يوضح طريقة الوصول إلى المجهول بطريقة التحليل والتعاكس.

أوجد العدد الذي إذا أضيف إليه ثلثاه وثلاثة كان الناتج 18.

الخطوة الأولى: افرض المجهول ما شئت وسمه المفروض الأول، ثم تصرف فيه بحسب السؤال، فإن كان مطابقًا فهو المطلوب، وإن لم يكن كذلك فإن الخطأ بالزيادة أو النقصان فهو الخطأ الأول.

الخطوة الثانية: افرض مجهولاً آخر وسمه المفروض الثاني، فإن أخطأ حصل الخطأ الثاني.

الخطوة الثالثة: اضرب المفروض الأول في الخطأ الثاني، وسمه المحفوظ الأول.

الخطوة الرابعة: اضرب المفروض الثاني في الخطأ الأول، وسمه المحفوظ الثاني.

الخطوة الخامسة: إذا كان الخطآن من زائدين أو ناقصين فاقسم الفرق بين المحفوظين على الفرق بين الخطأين، وإن اختلفا فمجموع المحفوظين على مجموع الخطأين لتحصل على المجهول.

لحل المسألة خذ المفروض الأول: 3 0 إذا تصرفنا فيه بحسب السؤال يكون:

3 + 3 × 2/3 + 3 = 3 + 2 + 3 = 8

… يكون الخطأ الأول 18 - 8 = 10 ناقص

خذ المفروض الثاني: 6 0 إذا تصرفنا فيه بحسب السؤال يكون:

6 + 6× 2/3 + 3 = 13

… يكون الخطأ الثاني 18 - 13 = 5 ناقص

إذن يكون المحفوظ الأول = 3 × 5 = 15

ويكون المحفوظ الثاني = 6 ×10 = 60

الفرق بين 60 و 15 = 45 والفرق بين الخطأين هو 10 - 5 = 5

… الجواب 45/5 = 9

اما استخراج المجاهيل بطريقة التحليل والتعاكس فتستـند على العمل بعكس ما أعطاه السـائل فإن ضعّف فنصِّـف، وإن زاد فانقــص، وإن ضرب فاقسـم أو جذّر فربّع أو عكس فاعكس مبتدئًا من آخر السؤال. وقد وردت هذه المسألة في كتاب بهاء الدين العاملي: ¸عدد ضرب في نفسه وزيد على الحاصل اثنان وضعــف وزيد على الحاصل ثلاثة دراهم وقسم المجتمع (المجموع) على خمسة وضرب الخارج في عشرة حصل خمسون·.

نبدأ بآخر السؤال فنقسم 50 - 10 ثم نضرب 5 في مثلها؛ أي 5 × 5 = 25 وننقص من 25 العدد 3 فيكون الباقي 22 ومن نصف هذا العدد ننقص 2؛ أي 11 - 2 = 9 فالجواب يكون الجذر التربيعي لـ 9 أي 3.

اشتغل العرب بما يمكن أن نطلق عليه رياضيات التسلية؛ فقد برعوا في تقديم المسائل الرياضية في صورة ألغاز، كما اشتغلوا بالمربعات السحرية. وأول من بحث في هذا النوع ثابت بن قرة. وظهر كثيرًا في مصنفات الرياضيين الآخرين، وكانوا يطلقون على المربعات السحرية الأشكال الترابية.

من هذه المربعات ما أثبته إخوان الصفا في رسائلهم؛ وهي المربعات التي كيفما عدت كانت الجملة 15. وهي تتكون من مربع كبير يضم في داخله تسعة مربعات لتشمل الأرقام من 1 إلى 9 كالتالي:



ومن ذلك أيضًا المربع الذي يضم في داخله 16 مربعًا صغيرًا تشتمل الأرقام من 1 إلى 16 ومن خاصيته أنه كيفما عدّ كانت الجملة 34 كالآتي:




كما يوجد شكل به 36 مربعًا كيفما عدّ كانت الجملة 101، وآخر ذو 64 مربعًا كيفما عدّ كانت الجملة 260 وآخر ذو 81 مربعًا كيفما عدّ كانت الجملة 369 كالتالي:







الجبر. عرف ابن خلدون علم الجبر بأنه من فروع الرياضيات، وأنه صناعة يستخرج بها العدد المجهول من العدد المعلوم إذا كان بينهما صلة تقتضي ذلك. وكان هذا العلم معروفًا لدى الأمم الأخرى؛ فالإغريق مثلاً كانوا قد توصلوا إلى حل معادلات من الدرجة الثانية، غير أنهم كانوا يجهلون الرموز الجبرية، وكانت طرقهم في ذلك معقدة وغير موحدة. ولم يصبح الجبر علمًا خالصًا إلا بعد أن اشتغل به العرب والمسلمون. كما أن الفضل يعود إلى الرياضيين العرب والمسلمين مثل ابن يونس والحراني وغيرهما في التمهيد لابتكار اللوغاريثمات.

عرف العرب قبل الإسلام نوعًا من الجبر الذي كان يرد في طرائفهم وأشعارهم من قبيل الألغاز، إلا أنهم لم يدونوا ذلك لاعتمادهم على الرواية الشفهية في ضبط كل أمورهم. وقد كثر ذكر المعادلات ذات المجهول الواحد في أشعارهم كقول زرقاء اليمامة:


ليت الحمام ليه إلى حمامتيــــه
أو نصفه فقديه صار الحمام ميه

وصاغ النابغة هذا اللغز في أبيات أخرى فجاءت كما يلي:


واحكم كحكم فتاة الحي إذ نظرت إلى حمامٍ سراعٍ وارد الثّمدِ
قالت ألا لَيْتما هذا الحمام لنا إلى حمامتنا مع نصفه فقدِ
فحَسَّبوه فألفَوْه كما ذكرت تسعًا وتسعين لم تنقص ولم تزد
فكملت مائة فيها حمامتها وأسرعت حسبة في ذلك العدد!

وأعظم رياضيي القرن الثالث الهجري، التاسع الميلادي هو محمد بن موسى الخوارزمي، وهو أول من سمّى علم الجبر جبرًا وأول من ألّف في هذا العلم بتشجيع من الخليفة المأمون؛ فصنّف فيه كتابه المشهور الجبر والمقابلة. ويشهد على عظمة الخوارزمي أن علم الجبر لم يتقدم خلال القرون الثلاثة التي تلت وفاته تقدمًا يذكر.

لم يستخدم الرياضيون الرموز في بادئ الأمر، وإنما جاءت هذه الرموز في حقبة متأخرة نسبياً وعلى يد الرياضيين العرب أنفسهم. فقد بدأت رموز هذا العلم في شكل مصطلحات لغوية ثم تطورت؛ ومن ذلك استخدام الخوارزمي ومن جاء بعده بقليل المصطلحات الآتية:

الجبر: نقل الحدود المنفية إلى الجانب الآخر من المعادلة.

المقابلة: توحيد الحدود المتماثلة.

الحد: الكمية المعبر عنها في المعادلة بعدد معلوم أو مجهول.

العدد الأصم: الذي لا ينجذر إلا بكسر.

الجذر: كل شيء مضروب في نفسه بدءًا من الواحد إلى أعلى وما دونه من كسور. وهو الحد المجهول في المعادلة ونعبر عنه حالياً بالرمز س، وأطلقوا عليه أيضًا مصطلح الشيء.

جزء الجذر (الشيء): معكوس الجذر؛ أي 1/س .

المال: كل ما اجتمع من الجذر المضروب في نفسه (س²).

جزء المال: معكوس المال أي 1/س.

العدد المفرد: كل ملفوظ به من العدد بلا نسبة إلى جذور ولا إلى مال.

قسم الخوارزمي المعادلات إلى ستة أقسام كالتالي:

الأموال التي تعدل (تعادل) جذورًا ويقابلها بالرموز الحالية: م س² = ب س.

الأموال التي تعدل عددًا معلومًا ويقابلها بالرموز الحالية: م س² = ح.

الجذور التي تعدل عددًا معلومًا ويقابلها بالرموز الحالية: ب س = ح.

الأموال والجذور التي تعدل عددًا معلومًا ويقابلها بالرموز الحالية: م س² + ب س = ح .

الجذور والأعداد المعلومة التي تعدل أموالاً ويقابلها بالرموز الحالية: ب س + ح = مس² .

الأموال والأعداد التي تعدل جذورًا ويقابلها بالرموز الحالية: م س² + ح = ب س.

ثم تطورت هذه المصطلحات لتحل محلها رموز سهلت استخدام هذا العلم وقادته للتطور، ومن هذه الرموز ما استخدمه القلصادي (ت 891هـ، 1486م) فقد استخدم العلامات التالية:

جـ : لتدل على الجذر؛ وهو الحرف الأول من كلمة جذر.

ش : لتدل على المجهول؛ وهو الحرف الأول من كلمة شيء (س).

م : لتدل على مربع المجهول؛ وهو الحرف الأول من كلمة مال (س²).

ك : لتدل على مكعب المجهول؛ وهو من حروف كلمة مكعب (س§).

ل : لتدل على المساواة بين الكميتيْن (ل)، وهو من حروف كلمة يعدل.

… ثلاث نقاط للدلالة على النسبة.

المعادلات. يعد حل المعادلات التكعيبية بوساطة قطوع المخروط من أعظم الأعمال التي أسهم بها الرياضيون العرب في هذا العلم. وقد طبقوا نظرياتهم فيها على حلول بعض المسائل الصعبة التي يؤدي حلها إلى معادلات تكعيبية. ومن جملة المسائل التي وردت في تمريناتهم التطبيقية يتبين أنهم كانوا يعرفون حل المعادلات من الدرجة الثانية، كما عرفوا أن لهذه المعادلات جذريْن قاموا باستخراجهما إن كانا موجبين. وتحققوا من الحالة التي يكون فيها الحل مستحيلاً في نطاق الأعداد الحقيقية.

فالخوارزمي يقول في هذا الصدد في كتاب الجبر والمقابلة ¸… واعلم أنك إذا نصفت الأجذار وضربتها في مثلها فكان يبلغ ذلك أقل من الدراهم التي مع المال فالمسألة مستحيلة… وإن كان مثل الدراهم بعينها فجذر المال مثل نصف الأجذار سواء، لا زيادة ولا نقصان…·.

حل العرب معادلات من قوى أعلى؛ فعلى سبيل المثال نجد أن محمد بن الحسن الكرخي حل معادلات على النمط التالي في كتابه الفخري:

س ¨ + 5س² = 126

و م س2ن + ب سن + حـ = صفر

و س ¨ + م س§ = د

و (100 - س²) (10 + س)² = 8100

والمعادلة الأخيرة حل للمسألة التالية:

أوجد طول الضلع الرابع المجهول في شبه المنحرف أ ب جـ د الذي فيه أ ب يوازي جـ د، أ د يساوي د جـ يساوي ب جـ يساوي10 والمساحة 90؟







ع = ¬ (100 - س²)

… مساحة أ ب جـ د =

(20 + 2س) ¬ (100 - س²)


أي أن 1/2 ¬ (100 - س²) (10 + س) = 90

وبتربيع الطرفين يكون الناتج:

(100 - س²) (10 + س)² = 8100

(10 + س) ص = 90، حيث ص = ¬( 100 - س²)؛ أي س² + ص² = 100

أما معادلات الدرجة الثانية فقد وردت فيها مسائل كثيرة في كتبهم منها على سبيل المثال المعادلات التالية:

س² + ص = ط² و ص² + س = ن²

و س ص + س = ط² و س ص + ص = ن²

ولعل الرياضيين العرب هم أول من استعان بالهندسة لحل المعادلات الجبرية من الدرجة الثانية، وهذا من طرق الهندسة التحليلية؛ ولثابت بن قرة في ذلك ابتكارات لم يسبق إليها، فقد وضع كتابًا في الجبر بيَّن فيه علاقة الجبر بالهندسة وكيفية الجمع بينهما. كما وردت مسائل لدى الخوارزمي وغيره من الرياضيين العرب استخدموا فيها الهندسة لحل مسائل الجبر من ذلك ما ورد لدى الخوارزمي في حل المعادلات التالية هندسيًا:

س² + 10س = 39

س² + 21 = 10س

س² = 3 س + ع

فلحل المعادلة الأولى على سبيل المثال: نفترض أن المستقيم جـ ب = س ، ثم نقيم عليه المربع أ ب جـ د ونمد د جـ إلى م، و د أ إلى هـ بحيث يكون أ هـ مساويًا لـ جـ م =1/2 × 10 = 5 ثم نكمل الرسم كما هو موضح.

تمارا
18-01-2007, 04:33 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

البقية ...


من المساحات الموضحة، والمعادلة


س² + 10س = 39

نجد: س² + 10س + 25 = 39 + 25 = 64

وهي مساحة المربع د هـ ع م

… ضلعه يساوي 8

… س = 8 - 5 = 3

عني الرياضيون العرب أيضًا بالجذور الصّماء، وبحثوا في نظرية ذات الحدين التي يمكن بوساطتها رفع المقدار الجبري ذي الحدين إلى قوة معلومة أُسها عدد صحيح موجب. أما في الجذور الصم؛ فقد كان الخوارزمي أول من استعمل كلمة أصم للإشارة إلى العدد الذي لا جذر له. وأوجد العرب طرقًا لإيجاد قيم تقريبية للأعداد التي ليس لها جذور؛ فبهاء الدين العاملي يقول في الخلاصة: ¸وإن كان أصم فأسقط منه أقرب المجذورات إليه، وانسب الباقي إلى مضعّف جذر المُسقط مع الواحد، فجذر المُسقط مع حاصل النسبة هو جذر الأصم بالتقريب·. فلو افترضنا أن العدد الأصم في هذ الحالة (م)، وكان أقرب عدد له جذر تربيعي هو (ب²) وكان الفرق يساوي (هـ) لذا فإن:

م - ب² = هـ

وعلى هذا يكون ¬ م = ب + ه/2ب+1

فعلى سبيل المثال ¬ 10= 3 + 1/2×3+1 = 3 + 1/7 = 1/7 3.


الهندسة. أخذ هذا المصطلح من كلمة أندازة الفارسية الأصل وعربت إلى هندسة. اهتم العرب بهذا العلم، وبنوا فيه على ما نقلوه من اليونان. وكان أهم مرجع لديهم هو كتاب أقليدس الذي ترجموه بعنوان الأصول وكتاب أقليدس. وكانت للعلماء العرب إسهامات طيبة في هذا العلم، إلا أنها لا ترقى إلى المستوى الذي بلغوه في الحساب والجبر. قام بترجمة كتاب أقليدس ثلاثة من أشهر العلماء، وكانت لكل منهم ترجمته الخاصة به. وقام بهذه الترجمات كل من حنين بن إسحاق، وثابت بن قرة ويوسف بن الحجاج. ثم جاء من بعدهم من اختصره مثل ابن سينا وابن الصلت، وفي مرحلة أخرى ألّف العرب على نسقه وأضافوا عليه مثل ابن الهيثم والكندي، ومحمد البغدادي.

ولما كان العرب يميلون إلى الجانب التطبيقي في تناولهم للمعارف أكثر من الجانب النظري فقد خرجوا بالهندسة النظرية اليونانية إلى المجال العملي التطبيقي. من ثم نجد أنهم يقسمون الهندسة إلى قسمين: عقلية وحسية؛ فالعقلية هي النظرية وألحقوها بالفلسفة، ولا يعمل بها إلا الحكماء الراسخون في الرياضيات البحتة. وهذا هو النوع الذي تفنن فيه علماء اليونان وعلى رأسهم أقليدس. أما العرب فكان إنجازهم فيها ضئيلاً نسبيًا. أما الهندسة الحسية فهي التطبيقية، التي استفاد منها العرب في العمران؛ في المساجد والقصور والأروقة والقباب وتخطيط المدن.

متفرقات هندسية. وضع العلماء العرب والمسلمون مصنفات هندسية تطبيقية تنم عن استقلال في التفكير على الرغم من انطلاقهم من نظريات أقليدس وفيثاغورث وأبولونيوس. يظهر ذلك بجلاء عند ابن الهيثم في كتابه الجامع في أصول الحساب وفي مقالاته في استخراج سمت القبلة؛ فيما تدعو إليه حاجة الأمور الشرعية من الأمور الهندسية؛ في استخراج ما بين البلدين في البعد بجهة الأمور الهندسية، وكذلك رسالة محمد البغدادي التي كان موضوعها تقسيم أي مستقيم إلى أجزاء متناسبة، مع أعداد مفروضة برسم مستقيم، وهي اثنتان وعشرون قضية: سبع في المثلث، وتسع في المربع، وست في المخمس.

بيَّن العرب كيفية إيجاد نسبة محيط الدائرة إلى قطرها (ط) ورمزوا لذلك بالحرف ط، وكانت كالتالي بالتقريب لدى الخوارزمي:

¬10 ، 1/7 3 ، 62,832/20,000

ويوضح ذلك في الجبر والمقابلة بالألفاظ ¸.. وكل مدورة (دائرة) فإن ضربك القطر في ثلاثة وسبع، هو الدور (المحيط) الذي يحيط بها، وهو الاصطلاح بين الناس من غير اضطرار، ولأهل الهندسة فيه قولان آخران: أحدهما أن نضرب القطر في مثاله، ثم في عشر، ثم نأخذ جذر ما اجتمع (الناتج)، فما كان فهو الدور. والقول الثاني، لأهل النجوم منهم، وهو أن نضرب القطر في اثنين وستين ألفًا وثمانية واثنتين وثلاثين، ثم نقسم ذلك على عشرين ألفًا، فما خرج فهو الدور. وكل ذلك قريب بعضه من بعض…·. وقد بلغ الاهتمام بهذه النسبة أن وضع فيها الرياضيون العرب مؤلفات من ذلك الكتاب الذي وضعه غياث الدين الكاشي بعنوان في نسبة القطر إلى المحيط.

أظهر الرياضيون العرب تفوقًا في الهندسة المستوية ولاسيما فيما يتعلق بالمتوازيات. فكان نصير الدين الطوسي مثلاً أول من لفت الانتباه لنقص أقليدس في قضية المتوازيات، وقام بتقديم الأدلة المبنية على فروض في كتابه الرسالة الشافية عن الشك في الخطوط المتوازية. كما استفاد ابن الهيثم من الهندسة المستوية والمجسمة في بحوثه عن الضوء، وتعيين نقطة الانعكاس في أحوال المرايا الكرية والأسطوانية والمخروطية، المحدبة والمقعرة. فنجد أنه وضع أولاً بضع عمليات هندسية على جانب من الصعوبة ذكرها وبيّن كيفية إجرائها ووضع لها البراهين الهندسية المضبوطة. ثم كانت الخطوة الثانية أن اتخذ هذه العمليات الهندسية مقدمات إلى الحلول التي أرادها لتحديد نقاط الانعكاس، ثم أضاف خطوة أخرى بتقديمه البراهين الهندسية لتلك الحلول.

عرف الرياضيون العرب علم تسطيح الكرة؛ وهو علم عرّفه حاجي خليفة في كشف الظنون بأنه ¸علم يتعرف فيه كيفية نقل الكرة إلى السطح مع حفظ الخطوط والدوائر المرسومة على الكرة، وكيفية نقل تلك الدوائر على الدائرة إلى الخط… وجعله البعض من فروع علم الهيئة (الفلك)، وهو من فروع علم الهندسة…·. فقد نقل العرب الخرائط من سطح الكرة إلى السطح المستوي، ومن السطح المستوي إلى السطح الكروي، ومن مصنفاتهم في هذا الفرع من الهندسة كتاب تسطيح الكرة لبطليموس؛ الكامل للفرغاني؛ الاستيعاب للبيروني؛ دستور الترجيح في قواعد التسطيح لتقي الدين.

وألّف العرب مصنفات كثيرة في المسائل الهندسية، وفي التحليل والتركيب الهندسي وفي موضوعات متصلة بذلك مثل تقسيم الزاوية، ورسم المضلعات المنتظمة وربطها بمعادلات جبرية. ويقال إن ثابت بن قرة قسّم الزاوية إلى ثلاثة أقسام متساوية بطريقة تخالف الطرق التي عرفها اليونان. كما بحث العلماء في مراكز الأثقال وتوسّعوا فيها واستعملوا البراهين الهندسية لحل بعض مسائلها. ومن هذا ما ذكره الكوهي في كتاب مراكز الأثقال ¸… أدرنا نصف دائرة أ ب جـ التي مركزها د، مع القطع المكافئ الذي سهمه خط ب د، ومع المثلث أ ب جـ حول الخط ب د القائم على الخط أ جـ حتى يحدث من إدارة نصف الدائرة نصف الكرة، ومن القطع المكافئ مجسم المكافئ، ومن المثلث مخروط، فيكون المخروط مجسمًا للمثلث كالمجسم المكافئ للقطع المكافئ، ونصف الكرة لنصف الدائرة. فمركز ثقل مجسم المثلث، أعني المخروط، يقع على نسبة الواحد إلى أربعة، والمجسم المكافئ على نسبة الاثنين إلى ستة، ونصف الكرة على نسبة الثلاثة إلى ثمانية. أما مركز ثقل المثلث فعلى نسبة الواحد إلى ثلاثة، والقطع المكافئ على نسبة الاثنين إلى خمسة، ونصف الدائرة على نسبة الثلاثة إلى سبعة…·.



أما في المساحات فقد تناولوها في ثنايا المصنفات الرياضية باعتبارها فرعًا من الهندسة. فنجد أن بهاء الدين العاملي يخصص لها الفصول الثلاثة الأولى من الباب السادس من كتاب خلاصة الحساب، ويتناول في مقدمته بعض تعريفات أولية في المساحة عن السطوح والأجسام. ثم في الفصل الأول مساحة السطوح المستقيمة الأضلاع كالمثلث، والمربع، والمستطيل، والمعين، والأشكال الرباعية، والمسدس، والمثمن وغيرها. ويتناول في الفصلين الثاني والثالث طرق إيجاد مساحة الدوائر والسطوح المنحنية كالأسطوانات، والمخاريط التامة والناقصة، والكرة. كما يذكر في الباب السابع أشياء تتعلق بالمساحة عل سطح الأرض لإجراء المسح لشق القنوات، ومعرفة مقدار الارتفاعات وعرض الأنهار وأعماق الآبار.


كان من الطبيعي أن ينقل العرب معارفهم الهندسية ويطبقوها على فنهم المعماري من مساجد وقصور ومدن وغيرها، واهتموا بالزخارف الهندسية التي اتسمت بالتناسق والدقة. وهذا يتطلب معرفة دقيقة بأعقد قوانين علم الهندسة لضبط رسم الخطوط والدوائر وتقسيم الأشكال الهندسية. ولا أدل على ذلك من الشواهد القائمة حتى الآن في الأندلس كقصر الحمراء وجنة العريف في غرناطة.

كما برع العرب في تخطيط المدن، وشق الطرق، والقنوات للري. وكان تصميم المدن يتم أولاً بعمل الخرائط الهندسية على الجلود والأقمشة والورق، بل كانوا يعملون لها نماذج مجسَّمة صغيرة كما يعمل مهندسو المعمار اليوم. ومن أشهر المدن التي خططها المعماريون العرب والمسلمون على أسس هندسية بغداد والبصرة في العراق، والفسطاط والقاهرة في مصر، والزهراء في الأندلس، وأصفهان في إيران، وأجرا في الهند. وقد راعوا في هذه المدن وغيرها الموقع الجغرافي، وتوافر المياه، وشق أكبر شوارعها في وسطها، بحيث يخترقها منصفًا لها، ويقوم على جانبي هذا الشارع الأحياء السكنية التي أطلق عليها الخطط. وكان يقوم في مركز المدينة المسجد الكبير ودار الإمارة ودواوينها.


المثلثات. عُرف هذا العلم عند العرب باسم علم الأنساب أيضًا، وقد سمي كذلك لأنه يقوم على استخراج الأوجه المتعددة الناشئة عن النسبة بين أضلاع المثلث. ويعدّ هذا الفرع من الرياضيات علمًا عربياً كالجبر؛ فإلى العرب يرجع الفضل في وضعه بشكل مستقل عن الفلك.

من أبرز ما أضافه الرياضيون العرب والمسلمون إلى علم المثلثات؛ استعمالهم الجيب بدلاً من وتر ضعف القوس في قياس الزوايا. وأدّى ذلك إلى تسهيل كثير من المسائل الرياضية. واستنبط الرياضيون العرب الظل في قياس الزاوية المفروضة بالضلع المقابل لها مقسومًا على الضلع المجاور. والظل هو المماس، غير أن كلمة مماس لاتستخدم اليوم في الهندسة بينما لازالت كلمة ظل تستخدم في المثلثات. وذكر الطوسي في كتاب شكل القطاع ¸إن السبق في استنباط هذا الشكل (الظلي) لأبي الوفاء البوزجاني بلا تنازع مع غيره… وإن في المثلث القائم الزاوية الذي يكون من القسي العظام، تكون نسبة جيب أحد ضلعي القائمة إلى جيب الزاوية القائمة، كنسبة ظل الضلع الأخرى من ضلعي القائمة إلى ظل الزاوية الموترة به·.

أثبت الرياضيون العرب أن نسبة جيوب الأضلاع بعضها إلى بعض تساوي نسبة جيوب الزوايا الموترة بتلك الأضلاع بعضها إلى بعض في أي مثلث كروي. وكان أول من قام بذلك أبو نصر علي بن عراق والبوزجاني في أواخر القرن العاشر الميلادي. كما أوجدوا طريقة مبتكرة لحساب الجداول الرياضية للجيب، وللمماس والقاطع وتمامه. وكان البوزجاني أول من حسب جيب الزاوية التي قدرها 30 دقيقة حسابًا اتفقت نتائجه فيها إلى ثمانية أرقام عشرية مع القيمة الصحيحة.

قام الرياضيون العرب بحل بعض مسائل المثلثات جبريًا، فالبتاني، على سبيل المثال، تمكن من حساب قيمة الزاوية م من المعادلة جا م/جتا م = س بطريقة جبرية كان سابقًا إليها وهي :

جا م = س/ ¬ س² +1

تمارا
18-01-2007, 04:34 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

البقية...

واخترع العرب حساب الأقواس التي كان من فوائدها تسهيل قوانين التقويم، وتُريح من استخراج الجذور المربعة. وكشفوا بعض العلاقات الكائنة بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرها، كما توصلوا إلى معرفة القاعدة الأساسية لمساحة المثلثات الكروية، والمثلثات الكروية المائلة الزاوية. ويُعتبر استعمال العرب المماسات والقواطع ونظائرها في قياس الزوايا والمثلثات نقلة هائلة في تطور العلوم، لأنه سهّل كثيرًا من المسائل الرياضية المعقدة.


رواد العلوم الرياضية وأهم مؤلفاتهم. صنّف الرياضيون العرب مؤلفات كثيرة في مختلف فروع العلوم الرياضية؛ كثير منها كان موسوعيًا شمل كل هذه الفروع، بينما اقتصر بعضها الآخر على البحث في علم بعينه، أو فرع من هذا العلم. وقد أتوا على ذكر كل ما استجد في نظرهم من فروع هذا العلم من الأمم المجاورة وأضافوا عليه إضافات ذكروها في هذه المصنّفات وطبقوها عمليًا.

من القرن الثالث إلى الخامس الهجري. تغطي هذه الفترة إسهام بعض علماء الرياضيات في الحقبة الواقعة بين الخوارزمي وأبي الريحان البيروني. وقد نبغ في تلك الحقبة إلى جانب الخوارزمي والبيروني علماء كثيرون منهم، على سبيل المثال، أبو كامل شجاع بن أسلم وثابت بن قرة وسنان بن الفتح الحراني الحاسب والبوزجاني والبتاني وابن الهيثم وآخرون.

كان الخوارزمي أول من ألّف في الرياضيات على عهد المأمون الذي عيّنه رئيسًا لبيت الحكمة. وكان أعظم مؤلَّف له في حقل الرياضيات كتاب الجبر والمقابلة، وهو الكتاب الذي أثر في كل الأدبيات التي تناولت العلوم الرياضية من بعده، سواءً في الشرق أو الغرب. لذا عُدّ الخوارزمي واحدًا من أكبر الرياضيين في جميع العصور. وقد وضع هذا الكتاب بتكليف من الخليفة المأمون ليفيد الناس منه في التجارة والمواريث، والوصايا، وقياس المساحات الخاصة بالأراضي. واستخدم في هذا الكتاب مصطلح جبر لأول مرة. وقد ترجم هذا الكتاب إلى اللاتينية روبرت الشستري، وهو أول من ترجم القرآن إلى اللاتينية. وكانت ترجمة هذا الكتاب أساسًا لدراسات أشهر رياضيي الغرب مثل ليوناردو البيزي الذي اعترف بأنه مدين للعرب بذخيرته المعرفية في الرياضيات.

تناول الخوارزمي في الجبر والمقابلة موضوعات شتى في حل المعادلات الجبرية. تكلم أولاً عن العدد في حساب الجبر والمقابلة، وقسمه إلى جذر ومال وعدد مفرد، وأتى بأمثلة من المعادلات ذات الدرجة الثانية، وشرح حلولها بطريقة جبرية أو هندسية. وفي باب الضرب، بيَّن كيفية ضرب الأشياء؛ أي الجذور بعضها ببعض، ثم باب الجمع والنقصان (الطرح)، ووضع فيه عدة قوانين لجمع المقادير الجبرية وطرحها وضربها وقسمتها، ثم باب المسائل الست؛ وهي مسائل تطبيقية في الجبر أوردها بنصها ثم قام بحلها كنماذج للأبواب المتقدمة، ثم باب المسائل المختلفة؛ وذكر فيها ضروبًا مختلفة من المسائل تؤدي إلى معادلات من الدرجة الثانية وشرح كيفية حلها. يلي ذلك أكثر الأبواب اعتمادًا على التطبيق العملي، وهو باب المعاملات؛ ويتضمن المعاملات التي يقوم بها الناس فيما بينهم، ويحتاجون فيها إلى ضرب من عمليات الجبر والحساب كالبيع والشراء والإجارة، وأورد فيه مسائل تتناول البيع والإجارات وما يتعامل به الناس من الصرف والكيل والوزن. يأتي بعد ذلك باب المساحة وأوضح معنى الوحدة المستعملة في المساحات، وأعطى مساحات بعض السطوح المستقيمة الأضلاع والدوائر والقطاعات. أما الخاتمة فهي كتاب الوصايا، وتطرق فيه إلى مسائل عملية وأمثلة كثيرة تتعلق بالوصايا، وتقسيم التركات، وتوزيع المواريث، وحساب الدور الذي يشمل باب التزويج في المرض، وباب العتق في المرض، وباب في العقر في الدور، وباب السلم في المرض. ونعرض فيما يلي نصًا من حديثه في باب المساحة لجزالة لغته وسهولتها: ¸اعلم أن معنى واحد في واحد إنما هو مساحة، ومعناه ذراع في ذراع؛ فكل سطح متساوي الأضلاع والزوايا، يكون من كل جانب واحدًا؛ فإن السطح كله واحد. فإن كان من كل جانب اثنان (ذراعان) وهو متساوي الأضلاع والزوايا، فالسطح كله أربعة أمثال السطح الذي هو ذراع في ذراع… وكل سطح مربع يكون من كل جانب نصف ذراع فهو مثل ربع السطح الذي هو من كل جانب ذراع… وكل معينَّة (شكل معيَّن) متساوية الأضلاع، فإن ضربك أحد القطرين في نصف الآخر فهو تكسيرها (حاصل الضرب)، وكل مدورة (دائرة)، فإن ضربك القطر في ثلاثة وسُبع هو الدور (المحيط) الذي يحيط بها…·.

اشتهر أبو كامل شجاع بن أسلم (ت نحو 267هـ، 880م) بالحاسب المصري، وهو من المعاصرين للخوارزمي. ومن مؤلفاته في الرياضيات كتاب الجمع والتفريق، ويبحث فيه القواعد الأساسية للعمليات الحسابية لاسيما الجمع والطرح كما يبدو من عنوانه. وله أيضًا كتاب الخطأين؛ ويبحث فيه أصول حل المسائل الرياضية بطريق الخطأين. وكتاب الجبر والمقابلة وفيه يحاول تكملة ما استدركه على الخوارزمي، كما أشاد فيه بفضل الخوارزمي في علم الجبر والمقابلة. ويقول فيه ¸إن كتاب محمد بن موسى (الخوارزمي) المعروف بكتاب الجبر والمقابلة أصحها أصلاً، وأصدقها قياسًا، وكان مما يجب علينا من التقدمة الإقرار له بالمعرفة وبالفضل؛ إذ كان السابق إلى كتاب الجبر والمقابلة، والمبتدئ له، والمخترع لما فيه من الأصول التي فتح الله لنا بها ما كان مغلقًا، وقرّب ما كان متباعدًا، وسّهل بها ما كان معسرًا، ورأيت فيها مسائل ترك شرحها وإيضاحها، ففرعت منها مسائل كثيرة، يخرج أكثرها إلى غير الضروب الستة التي ذكرها في كتابه… وبّينت شرحه، وأوضحت ما ترك إيضاحه وشرحه·. وله من الكتب الرياضية أيضًا كتاب الوصايا بالجذور، والشامل الذي يبحث في الجبر، وهو من أحسن الكتب التي ألّفت في ذلك العصر، وإليه أشار سميث في تاريخ الرياضيات بأنه كان وحيد عصره في حل المعادلات الجبرية، وفي كيفية استعمالها لحل المسائل الهندسية.

مهَّد مهندس العرب ثابت بن قرة (ت 288هـ، 900م) لإيجاد التكامل والتفاضل؛ وذلك بحساب حجم الجسم المتولد عن دوران القطع المكافئ حول محوره. كما يُعزى إليه العثور على قاعدة تستخدم في إيجاد الأعداد المتحابة؛ وهي أزواج نادرة من الأعداد لم يبحث فيها أحد قبله. انظر: الحساب في الجزء السابق من هذه المقالة. كما أن ثابت كان أول من بحث في المربعات السحرية بعد الصينيين. واستطاع أن يبتدع طريقة في تقسيم الزاوية بأسلوب لم يسبق إليه. وله ابتكارات في الهندسة التحليلية؛ وهي الهندسة التي تستفيد من التطبيقات الجبرية.

صنّف ثابت بن قرة كثيرًا من المؤلفات في الرياضيات منها، على سبيل المثال، كتاب في المسائل الهندسية؛ كتاب في المربع وقطره؛ كتاب في الأعداد المتحابة؛ تصحيح مسائل الجبر بالبراهين الهندسية؛ المختصر في الهندسة؛ كتاب في المثلث القائم الزاوية. كما ترجم العديد من الكتب من أشهرها كتاب المدخل إلى علم العدد لنيقوماخوس الجرشي (ت نحو 135م) نسبة إلى جرش (في الأردن اليوم). وهذا الكتاب الأول من نوعه الذي عالج فيه مؤلفه علم الحساب مستقلاً عن الهندسة. وكان من بين الفوائد التي ترتبت على ترجمة هذا الكتاب إدخال مصطلحات رياضية جديدة إلى اللغة العربية، كما أسهمت في توحيد الاصطلاحات والتعابير الرياضية التي احتاجها العلماء العرب والمسلمون إبان نهضتهم العلمية.

اشتهر البتاني (ت 317هـ، 929م) بوصفه فلكيًا أكثر منه رياضيًا. وهو من الذين أضافوا بحوثًا مبتكرة في الفلك والجبر والمثلثات؛ لذا يعدّه الكثيرون من مؤرخي العلوم من عباقرة العالم الذين وضعوا نظريات مهمة. وهو الذي أدخل الجيب واستعمله بدلاً من كلمة الوتر؛ إذ إنه ترك الحساب بالوتر، كما كان يفعل بطليموس ومن جاء بعده، وفضل حساب الهنود بالجيب (نصف الوتر). وهو الذي أدخل مصطلح جيب التمام وأول من عمل الجداول الرياضية لنظير المماس، وعرف قانون تناسب الجيوب، واستخدم معادلات المثلثات الكروية الأساسية والخطوط المماسة للأقواس، واستعان بها في حساب الأرباع الشمسية، وأطلق عليها اسم الظل الممدود؛ أي خط المماس.

يعد أبو الوفاء البوزجاني (ت 388هـ، 998م) أحد الأئمة المعدودين في الرياضيات والفلك. وله فيهما مؤلفات قيمة، واعترف له كل من جاء بعده من رياضيي الشرق والغرب بأنه من أشهر الذين برعوا في الهندسة. وعندما ألّف في الجبر أضاف إضافات ذات شأن على بحوث الخوارزمي فاعتبرت أساسًا لعلاقة الهندسة بالجبر. وقد استعان بالهندسة في حل المعادلتيْن التاليتين:

س ¨ = حـ ، س ¨ + حـ س§ = ب

واستطاع أن يجد حلولاً لها تتعلق بالقطع المكافئ.

يعود الفضل للبوزجاني في وضع النسبة المثلثية (الظل)، وهو أول من استعملها في حلول المسائل الرياضية. كما أوجد طريقة جديدة لحساب جداول الجيب، وكانت جداوله دقيقة للغاية. ووضع بعض المعادلات التي تتعلق بجيب الزاويتيْن، وكشف بعض العلاقات بين الجيب والمماس والقاطع ونظائرها.

وللبوزجاني مؤلفات كثيرة قيمة في الرياضيات من أشهرها: منازل في الحساب؛ وقد قسمه إلى سبعة أبواب احتوت على النسبة والضرب والقسمة والمساحة وحساب الخراج، والمقاسات والصروف ومعاملات التجار. ومن كتبه الأخرى: تفسير الجبر والمقابلة للخوارزمي؛ المدخل إلى الأرثماطيقي؛ كتاب استخراج الأوتار؛ كتاب العمل بالجدول الستيني.

اشتهر ابن الهيثم بوصفه فيزيائياً، غير أن له في الرياضيات بحوثًا أصيلة تدل على أنه كان رياضياً بارعاً تجلت براعته في تطبيق الهندسة والمعادلات والأرقام في المسائل المرتبطة بالطبيعة والفلك، وفي البرهنة على قضاياها ببراهين غاية في البساطة أحيانًا، ومعقدة أحيانًا أخرى، وهي تتناول الهندسة بنوعيها المستوية والمجسمة.

طبق ابن الهيثم الهندسة على المنطق، ووضع في ذلك كتابًا. نقل ابن أبي أصيبعة في طبقات الأطباء قول ابن الهيثم ¸كتاب جمعت فيه الأصول الهندسية والعددية من كتاب أقليدس وأبولونيوس، ونوعت فيه الأصول وقسمتها، وبرهنت عليها ببراهين نظمتها من الأمور التعليمية والحسية والمنطقية، حتى انتظم ذلك مع انتقاص توالي أقليدس وأبولونيوس·.

اتبع ابن الهيثم منهجًا علمياً في بحوثه كلها، خصوصًا ما كان منها في الضوء. انظر إسهام ابن الهيثم في الجزء الخاص بالفيزياء من هذه المقالة. وكتبه المتعلقة بالرياضيات كثيرة منها: شرح أصول أقليدس في الهندسة والعدد؛ تحليل المسائل الهندسية؛ حساب المعاملات؛ أصول المساحة وذكرها بالبراهين؛ خواص المثلث من جهة العمود؛ تربيع الدائرة؛ كتاب في حساب الخطأين.

من القرن السادس إلى الحادي عشر الهجري. تغطي هذه الحقبة إسهام بعض العلماء الذين نبغوا في حقل العلوم الرياضية، بدءًا من عمر الخيام وانتهاءً ببهاء الدين العاملي. وتميزت هذه الحقبة بظهور علماء طوروا كثيرًا من أسس العلوم الرياضية التي تركها أسلافهم في الحقبة السابقة.

كان عمر الخيام من أنبغ الذين اشتغلوا في حقل الرياضيات ولاسيما الجبر، ودرس بدهيات هندسة أقليدس ونظرياتها العامة. والخيام من أوائل العلماء الذين حاولوا تصنيف المعادلات بحسب درجاتها وعدد الحدود التي فيها. واستخدم بعض المعادلات التي استعملها الخوارزمي من قبل في الجبر والمقابلة؛ من ذلك:

س² + 10 س = 39

و س² + 20 = 10 س

و 3 س+ 4 = س²

واستطاع الخيام أن يحل المعادلات التكعيبية هندسياً، واعتبر أن المعادلات ذات الدرجات الأولى والثانية والثالثة إما أن تكون بسيطة مثل : س = ص ، م س = س§ أو مركبة مثل: س² + د س = ص ، س§ + دس² + جـ س = هـ، ووضع للمعادلات البسيطة ستة أشكال وللمركبة اثني عشر شكلاً.

ألف الخيام كثيرًا في الفلك والرياضيات وغيرهما بالفارسية، وأهم آثاره العربية في الرياضيات شرح ما يشكل من مصادرات أقليدس؛ مقالة في الجبر والمقابلة.

كان أول من استخدم الرموز في الجبر القلصادي أبو الحسن علي القرشي (ت 891هـ، 1486م)، وقد نبغ في علم الحساب وألّف فيه مؤلفات ذات شأن. كما أبدع في نظرية الأعداد وفي بحوثه في علم الجبر. وأول مؤلف له اطلع عليه الأوروبيون كان كتاب كشف الأسرار عن علم الغبار.

أعطى القلصادي قيمة تقريبية للجذر التربيعي للكمية (س² + ص) كالتالي:


س² + ص = ¬س² +ص = 4 س §+ 3 س ص / 4 س ² + ص وتُعتبر هذه المعادلة مهمة لأنها أبانت طريقة لحساب الجذور الصم بكسور متسلسلة. وقد استفاد من هذه العملية ليوناردو البيزي وغيره في استخراج القيم التقريبية للجذور الصم.

من مصنفاته في الرياضيات، كشف الجلباب عن علم الحساب؛ قانون الحساب؛ كتاب تبصرة في حساب الغبار؛ كشف الأسرار عن علم الغبار وهو مختصر من كتاب كشف الجلباب عن علم الحساب. وهذا الكتاب يحتوي على مقدمة وأربعة أجزاء وخاتمة. وذكر في المقدمة صفة وضع حروف الغبار وما يتعلق بها. والجزء الأول يتناول عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ومسائل تطبيقية، والثاني يتناول الكسور وإجراء العمليات الحسابية والجبرية عليها. والثالث يتناول الجذور. والرابع يتناول كيفية استخراج المجاهيل والجبر والمقابلة وعملياتهما. أما الخاتمة فتتناول الاستثناء في المعادلات والنسبة واستخراج العدد التام والناقص.

ظلت آثار بهاء الدين العاملي (ت 1031هـ، 1622م) في الرياضيات والفلك زمنًا طويلاً مرجعًا للكثير من العلماء والباحثين. ومن خلال عمله في إيجاد الجذور الحقيقية والتقريبية للمعادلات الجبرية، بالطريقة التي وضعها الخوارزمي، توصل إلى طريقة جديدة أسهل لحل هذه المعادلات، وأطلق على هذه الطريقة طريقة الكفتين أو الميزان. واستمر العمل بهذه الطريقة من بعده حتى ابتكر إسحق نيوتن طريقة أخرى لإيجاد الجذور الحقيقية التقريبية، هي التي تُطبق اليوم.

يعد كتاب خلاصة الحساب أشهر كتب العاملي؛ إذ إنه انتشر انتشارًا كبيرًا في أوساط المعلمين والطلاب على حد سواء، وكان يستعمل إلى وقت قريب في بعض مدارس الشرق الإسلامي. ويتكون هذا الكتاب من عشرة أبواب تعليمية وفيه بعض الأساليب التي لم يُسبق إليها. وجاءت محتويات الأبواب العشرة كما يلي: تناول في البابين الأول والثاني الأعداد الصحيحة والجذور على التوالي. وتكلّم فيهما عن العمليات الحسابية المألوفة من جمع وطرح وقسمة وضرب، واستخراج جذور الكسور وتحويلها. وتناول في الأبواب من الثالث إلى الخامس كيفية استخراج المجهولات بالتناسب وبحساب الخطأين وبالتحليل والتعاكس. وخصص البابين السادس والسابع لحساب مساحة السطوح المستقيمة والأضلاع، والدوائر والمخروط، وقياس عرض الأنهار والمرتفعات وأعماق الآبار. وتناول في الباب الثامن استخراج المجهولات بطريق الجبر والمقابلة. أما البابان الأخيران فقد أورد فيهما بعض القواعد والمسائل التطبيقية من قبيل ¸شحذ ذهن الطالب وتمرينه على استخراج المطلب.

تمارا
18-01-2007, 04:36 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

و البقية متواصلة و بالله عز و جل أستعين و لي و لكم التوفيق ان شاء جل جلاله.

أختكم في الله تعالى
تمارا

صفاء القلب
18-01-2007, 04:46 PM
مشكورة اختي تمارا على هذا المجهود

وان كنت قدر رديت في منتصف الموضوع ولو اعلم انك لم تكملي الموضوع

عذارا

وفي انتظار باقي الموضوع

تمارا
20-01-2007, 12:23 AM
كل الشكر اختي تمارا على الموضوع

وارجوا ان يستفيد منه من يدرسون هذا العلم
بسم الله الرحمن الرحيم
و كل الود لكي اختي في الله تعالى "صفاء"

تمارا
20-01-2007, 12:28 AM
مشكورة اختي تمارا على هذا المجهود

وان كنت قدر رديت في منتصف الموضوع ولو اعلم انك لم تكملي الموضوع

عذارا

وفي انتظار باقي الموضوع
بسم الله الرحمن الرحيم
لا العفو متى شئت لكي الحق في الرد
ان شاء الله تعالى البقية آتية.

تمارا
20-01-2007, 11:38 AM
بسم الله الرحمن الرحيم

الإحصاء وتحليل الشفرة

من الضروري لقراءة عبارة مثل ZH WKH SHRSOH معرفة مفتاح شفرتها و علم التشفير cryptology هو دراسة تشفير و فك تشفير الرسائل فالتشفير يعني كتابة العبارات كرموز in cods بينما فك و تحليل الشفرة يعني ترجمة هذه الرموز إلى العبارات الأصلية .




و الإحصاء هي أحد الطرق المستخدمة في تشفير و فك و تحليل الشفرات . ولمال كان علم الإحصاء هو دراسة تنظيم و تحليل البيانات فإن المشفرين يستخدمونه في تحليل مقالات عادية من الجرائد و المجلات يحسبون مدى تكرار حروف الهجاء في هذا المقال و يطلق على هذا الإجراء ما يسمى بتحليل المحتوى .
و في دراسة عن اللغة الإنجليزية أثبت الباحث أن حرف E هو الحرف الأكثر تكرارا في هذه اللغة .
و بلك يعرف المشفرون أن الرمز الأكثر تكرارا في أي عبارة يقابل الحرف E و لهذا إذا نظرنا إلى العبارة السابقة فإننا نستطيع أن نخمن أن الحرف H يقابل الحرف E في النص الأصلي . و ليس من الضروري أن يكون هذا التخمين صحيحا .
الآن : هل يمكنك حل الشفرة السابقة ZH WKH SHRSOH ؟

إنها تعني : WE THE PEOPLE
و طريقة تشفير هذه العبارة كانت إزاحة الحرف الأصلي 3 خانات إلى الأمام .
تسمى هذه الطريقة بطريقة يوليوس قيصر Julius Caesar الذي كان أول من استخدمها .

تمارا
20-01-2007, 11:42 AM
بسم الله الرحمن الرحيم

خصائص الموهوب في مجال الرياضيات


1- يتعلم ويفهم الأفكار الرياضية بسرعة.

2- يعمل بشكل منظم ودقيق.

3- يميل إلى التحليل.

4- تفكيره منطقي ويلاحظ العلاقات الرياضية.

5- يخلق ارتباطات بين المفاهيم الرياضية التي تعلمها.

6- يتعرف على التعاملات النمطية بسرعة.

7- يطبق الخبرات السابقة على الوقائع الجديدة أو غير المألوفة.

8- يبدي افتراضاته ويبرر طريقته.

9- يطرح الأسئلة التي تظهر الفهم الواضح وحب الاستطلاع في المسائل الرياضية .

10- له منهجية مبدعة في حل المسائل الرياضية.

11- يحتمل التركيز خلال المهام الطويلة ومثابر في البحث عن الحلول.

12- بارع في صياغة الأسئلة والتعقيبات

تمارا
20-01-2007, 11:47 AM
بسم الله الرحمن الرحيم


التخطيط في الرياضيات

يعد التخطيط أحد المتطلبات الأساسية للنجاح في تنفيذ معظم النشاطات الحياتية التي نقوم بها فالمحامي الناجح والمهندس والسياسي والبائع وغيرهم يحتاجون إلى الوقت الكافي من أجل تنفيذ النشاطات التي يقومون بها من أجل تحقيق الأهداف المرجوة، ومعلم الرياضيات الناجح يحتاج إلى الوقت ليقضيه في إعداد الخطط السنوية وخطط الوحدة والخطط اليومية هذا بالإضافة إلى التخطيط لرسم الخطوط العريضة للمساقات



التي يراد تدريسها بالإضافة إلى الامتحانات التي يستخدمها في تقويم الأنشطة والتحقق من وصول التلاميذ إلى الأهداف المتوخاة وحتى المعلمين من ذوي الخبرة فهم بحاجة إلى الوقت الذي يقضونه في إعادة إعداد الخطط الدرسية التي أعدوها سابقاً حتى تظل خططاً درسية نامية ومتطورة وتتمشى مع التغيرات الحاصلة في ظروف المدرسة والمناهج وإلا اعترى تلك الخطط الجمود والروتين وتصبح بذلك خططاً بالية لا تحقق جميع الأهداف المرجوة.
إن الخطة الدرسية هي بمثابة ترجمة حقيقية لأهداف ومحتوى المنهاج المدرسي إلى خطة إجرائية، وإن المعلم الذي يتصف بالحيوية والنشاط لابد وأن يستعين بالإعداد والتخطيط لدروسه لكي يكون سيد الموقف الصفي، يسير بخطى ثابتة نحو تحقيق الأهداف المرجوة.
أنواع التخطيط:
أ- التخطيط السنوي: هو تخطيط يضع المعلم من خلاله خطة سنوية للمقرر الذي سيدرسه للطلاب وهنا يجب على المعلم أن يضع الأمور التالية في عين الاعتبار:
1- تحليل المقرر إلى وحدات دراسية .
2- تحديد الأهداف المرجوة لكل وحدة دراسية .
3- تحديد الوقت اللازم لتحقيق هذه الأهداف .
4- تحديد النشاطات والوسائل اللازمة لتنفيذ النشاطات .


5- تحديد أدوات ووسائل التقويم من اختبارات وبرامج للوقوف على مدى تحقيق الأهداف المرجوة من قبل الطلاب .
ب- تخطيط الوحدات : وتتضمن خطة الوحدة الأهداف والنشاطات ووسائل التقويم وأدواته اللازمة للمدة التي ستدرس منه وهناك أمور يجب على المعلم مراعاتها في تخطيط الوحدات وهي :
1- ما أهمية تلك الوحدة ؟ وماهي الأهداف المراد تحقيقها من تدريس الوحدة ؟ وماهي المفاهيم والمهارات التي تحويها وقابليتها للتطبيق مباشرة ؟ وماهي مفاتيح الارتقاء بها ؟
2- ماهي الأفكار المحورية والمفاهيم الشاملة للوحدة ؟ ماهي الأشياء التي سيتم التركيز عليها ؟ كم من الوقت يلزم لتدريس الوحدة ؟
3- ماهي الطرائق التدريسية الملائمة لهذه الوحدة ؟ وماهي المفاهيم والمهارات والخبرات التي يحتاج إليها التلاميذ كخلفية مطلوبة لتعلم تلك الوحدة ؟ ماهي الوسائل والأجهزة والأدوات اللازمة لتدريس هذه الوحدة ؟
4- ماهو نوع التقويم المناسب لمحتوى الوحدة ومستوى الصف ؟


ج – الخطة اليومية : وهذه الخطة تعود على المعلم بما يلي :
1- تكسب المعلم الثقة بنفسه أمام تلاميذه . 2- تجعل المعلم ملماً بالدرس ولا يقع في الارتجال والمغامرة .
الخطة اليومية يجب أن تتضمن مايلي :
1- الأهداف : والتي تعني ما الذي سأدرسه في هذه الحصة ؟
وبالرغم من أن الأهداف تبدو نظرية في الدروس اليومية إلا أنها تشكل خلفية لما يدور في الدروس لذا على المعلم أن يخبر تلاميذه بتلك الأهداف حتى يتعرفوا على المسئولية التي تقع على عاتقهم وما هو المطلوب منهم في تقويم التعلم
كأن يقول لهم : ماذا نود أن نضيف إلى معلوماتنا في هذه الحصة ؟ ويذكر لهم ذلك في نقاط ثم يستعرضها بالشرح .
2- كيف يبدأ المعلم الحصة ؟ وكيف ينهيها ؟
لابد على المعلم أن يسعى أن تكون بداية الحصة قوية وعلى وجه الخصوص في أول خمس دقائق من زمن الحصة الدرسية والتي تعتبر حاسمة والتي سينسحب أثرها على وقت الحصة كله . فيمكن لتمرين يثير تفكير التلاميذ وحماسهم لحله أن يحفزهم للعمل طوال الحصة بتفاعل جيد ومشاركة فعالة .
أما بخصوص إنهاء الحصة أو ما يسمى بالغلق ، فإن من الأخطاء الشائعة لدى بعض المعلمين أن ينهي المعلم درسه بالعبارة التالية : ( إن الواجب القادم هو ... ) مع أنه من المفروض أن ينهي المعلم الدقائق الأخيرة من الدرس في استجماع الأفكار التي نوقشت في الحصة ، فيمكن له أن يوجه لتلاميذه أسئلة من النوع التي تضيف شيئاً إلى ما تم تقديمه أو ملخص سبوري مناسب على أن يتم ذلك قبل قرع الجرس .
3- الدافعية : كل موقف تعليمي تعلمي يحتاج المعلم إلى بعض الأنشطة التي تحفز تلاميذه للعمل والمشاركة الفعالة والتي تثير اهتمامهم للقيام به . وعلى المعلم الذي يرغب في إثارة دافعية تلاميذه للتعلم أن يتجنب التعليمات والأوامر والنواهي حيث أنها تقيد التفكير الحر لدى التلاميذ مما يؤثر سلباً على دافعيتهم للتعلم ، ولكن يمكن للمعلم أن يختار أنشطة يتيح الفرصة لكل تلميذ المحاولة والتجريب فعلى سبيل المثال إذا قام المعلم بإثارة مشكلة أمام التلاميذ وطلب منهم أن يجمعوا المعلومات والبيانات والحلول حتى يكتشف التلاميذ بأنفسهم الحلول والإجابات المطلوبة حيث تولدت لديهم الدافعية لذلك
4- الطريقة : تعتمد الطريقة التدريسية على مشاركة التلاميذ في النشاطات المرتبطة بأهداف الدرس حيث تتاح لهم الفرصة الكافية للإجابة والتفاعل مع الموضوع سواء أعطى الدرس بأسلوب المناقشة أو طريقة المعمل حيث يقوم التلميذ فيه بإجراء بعض التجارب وعمل بعض القياسات أو يكون الدرس قائماً على الأنشطة التي يقوم فيها التلميذ في اكتشاف المفاهيم والأفكار بالدراسة الذاتية أو يكون الدرس قائماً على استخدام الوسائل السمعية والبصرية مثل الأفلام وغيرها أو استخدام المجموعات في التدريس أو الحاسب الآلي في التدريس فمهما تعددت الأساليب وطرائق التدريس فلابد أن تتمحور حول نشاط التلميذ أكثر من نشاط المعلم وأن يكون المعلم منظماً لتعلم تلاميذه لا ملقناً لهم .
5- الوسائل التعليمية : تلعب الوسائل التعليمية التي تتضمنها خطة الدرس دوراً فاعلاً في عملية التعلم وقد تكون مصدراً للتعلم نفسه وقد تكون من أجل توضيح المفاهيم والأفكار الرياضية الواردة في الدرس وخطة الدرس الناجحة هي التي تتيح للتلاميذ دوراً في إيجاد الأشياء وجمعها وعملها وقد تكون الأشياء عبارة عن بيانات يجمعها التلاميذ حيث تدعم التدريبات والتمارين الموجودة في الكتاب المقرر .
6- الأسئلة : إن توجيه الأسئلة للتلاميذ من قبل المعلم هي بمثابة طريق ذي فرعين للوصول إلى التعلم المنشود حيث يطلب من المعلم أن يوجه الأسئلة التي تثير أفكار التلاميذ وبالتالي تجعلهم يوجهون أسئلة أخرى مرتبطة بتلك الأسئلة للمعلم أو لزملائهم للوصول إلى أجوبة حول أفكارهم من أجل ذلك فلا بد من أن يكون التلميذ حراً في طرح الأسئلة بعيداً عن الخوف والحيرة من الفشل والإحباط والعقوبة وأن لا يستهزأ بسؤاله مهما كان . وأن يخلق المعلم جو يساعد التلميذ على الاستيضاح لشيء لم يسمعه أو لم يفهمه حيث يصغي الجميع لسؤاله مع تقبل المعلم لإجابات التلاميذ سواء كانت صحيحة أو خاطئة مع تشجيع الإجابات الصحيحة وتعديل الخاطئة وعدم التوبيخ عليها حتى لا يمتنع التلاميذ عن الإجابة مستقبلا .
7- التقويم : يقصد بالتقويم هنا الحكم على مدى فعالية الخطة الدرسية بعد تنفيذ النشاطات المتضمنة فيها ، ولكن الكثير من المعلمين لا يفكر في خطة الدرس بعد تنفيذ محتواها ، بل ينتقل إلى إعداد خطة درس آخر مع أنه من المفروض أن يسأل المعلم نفسه هل نجحت الخطة في تنفيذ النشاطات المتعلقة بها بمستوى جيد ؟ وهل حققت الأهداف المرجوة والمتضمنة في الخطة الدرسية ؟ لذا لا بد وبناءً على أسلوب مناسب في التقويم ومنه التقويم الذاتي الحكم على ذلك . ويمكن للمعلم أن يشارك زملاء ه وحتى التلاميذ في الحكم على نجاح الخطة ويسجل ملاحظاتهم ليستعين بها في إعداد خطط الدروس القادمة وكذلك في إعداد خطة الدرس نفسه في السنة القادمة .

الهدف السلوكي :
أصغر ناتج تعليمي سلوكي يتوقع حدوثه ويمكن ملاحظته بعد عملية تعليمية
قاعدة كتابة الهدف السلوكي :
أن + فعل سلوكي + الطالب + مصطلح من المادة + الحد الأدنى للأداء
أن يحل الطالب معادلة الدرجة الثانية باستخدام القانون العام في خمس دقائق
أفعال سلوكية يمكن قياسها :
يصف – يحدد – يجمع – يذكر – يقيس – يرسم – يحل – يقارن – يحول – يكتب – يبرهن.

تمارا
20-01-2007, 11:52 AM
بسم الله الرحمن الرحيم

المفاهيم الرياضية


المفاهيم الرياضية هي تجريد الصفات الأساسية التي تعطي لمصطلح ما معناه الرياضي.

ويعرّف المفهوم في الرياضيات على انه تكوين عقلي نشأ عن تجريد خاصية أو اكثر من مواقف متعددة يتوفر في كل منها هذه الخاصية .حيث تعزل هذه الخاصية مما يحيط في أي من المواقف وتعطى اسما يعبر عنه بلفظ أو رمز

. فخاصية "الأثنينية " مثلا ما هي إلا تجريد عقلي للخاصية المشتركة الموجودة في مواقف متعددة مثل العينين والقدمين والذراعين والأبوين………………..الخ، ومع تجريد هذه الخاصية فإن المفهوم "2" لا شأن له بالأعين أو

الأبوين أو أي من المواقف الخاصة التي من بين خواصها أنها " اثنان "


والمفهوم الرياضي يجب أن تتوفر فيه الشروط التالية :

أولا : أن يكون مصطلحا أو رمزا ذو دلالة لفظية أي يمكن تعريفه.

ثانياً: أن يكون تجريدا للخصائص المشتركة لمجموعه من الحقائق أو المواقف غير المتشابهة تماما.

ثالثاً: أن يكون شاملا في تطبيقه فلا يشير إلى موقف معين بل يشير إلى كافة المواقف التي تتضمنها مجموعة ما.


كيف نــــعـــــرّف المفاهيم

ولا بد أن نفصّل هنا في كيفية تعريف المفهوم وأقول أن تعريف المفهوم عبارة عن متساوية أحد طرفيها مصطلح ( اسم المفهوم ) وطرفها الآخر جمله خبرية شارحة لها بحيث يـمكن التعويض عن أحدهما بالآخر .


وللتوضيح نشير إلى أن عبارة " المستقيم مجموعة غير منتهية من النقط لا تمثل تعريفا للمستقيم لأننا نستطيع أن نعوض عن المستقيم بمجموعة من النقط لكن لا يمكننا أن نعوض عن مجموعة النقط بالمستقيم.إذ أن مجموعة النقط يمكن أن تكون أي شكل هندسي لذلك لا يمكن ان نضع تعريفاً للمستقيم .وعندما نقول أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي مستو فإن هذا أيضا لا يمثل تعريفا ولكن الشكل الرباعي المستوي مجرد أحد خواص متوازي الأضلاع ولكننا عندما نتحدث عن شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان فإننا بذلك عرفنا متوازي الأضلاع ولا شيء غير متوازي الأضلاع وإذا ذكرنا أن "متوازي الأضلاع شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان "فإننا بذلك نكون قد أضفنا مزيدا من الخواص لسنا في حاجة إليها في التعريف إذ أن كون كل ضلعين متقابلين متوازيان أمر لازم وهو هنا أيضا كاف ويمكن أن نشتق منه خواصا أخرى مثل أن كل ضلعين متقابلين متساويان والقطران فيه ينصف كل منهما الآخر.


تصنيف المفاهيم الرياضية


تنقسم المفاهيم الرياضية إلى قسمين رئيسين هما

مفاهيم رياضية غير معرفة وهي مفاهيم بدون تعريف ولكن يمكن تحديد بعض خواصها مثل: العدد ، النقطة ، المستقيم فعندما نقول أن المستقيم مجموعة غير منتهية من النقط فإن هذا ليس تعريفا ولكن خاصية من خواص المستقيم ، فليس كل مجموعة لا نهائية من النقط تكون مستقيما.


مفاهيم معرفة وهي مفاهيم يمكن التعبير عنها بصياغات لفظية شارحه لها بدلالة مفاهيم أخرى ابسط منها أو سبق تعريفها أو توضيحها مثل: المربع ، المكعب متوازي المستطيلات . فنقول أن متوازي الأضلاع هو " شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان" ونلاحظ هنا أن اللفظ " متوازي الأضلاع "يمكن أن يحل محل التقرير" شكل رباعي مستو فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان" وكذلك التقرير لا يمكن التعبير عنه إلا بلفظ " متوازي الأضلاع " بعكس المستقيم في المفاهيم الغير معرفة.





مفاهيم العدد


مفاهيم الفراغ


مفاهيم القياس





مثال (2)

مفهوم العبارة العددية ومفهوم العبارة الرياضية

(المرحلة الاساسية العليا )

كتمهيد لهذين المفهومين يجب التأكد من استيعاب التلاميذ لمفهوم المتغير حيث انه متطلب لهما

أعط الأمثلة: أ)5 + 9 = 14 ، ب) 6 = 10 - 4

ج) 3 + س = 20 ، د) 2 = ص + 5

يسجل التلاميذ ملاحظاتهم على العبارات ( أ ، ب كلها أعداد ، ج ، د أعداد ومتغيرات )

تسمى العبارات أ ، ب عبارات عددية

أمثلة إيجابية لمفهوم العبارة العددية : 15 = 20 – 5 ، 12 × 3 = 36

أمثلة سلبية لمفهوم العبارة العددية : س + 2 = 9 ؛ 5ص= 14

تسمى العبارات ج ، د عبارات رياضية

أمثلة إيجابية لمفهوم العبارة الرياضية : 45 = ص +6 ، 2س +3 = 5

أمثلة سلبية لمفهوم العبارة الرياضية : 60 – 10 = 50 ، 7 × 3 = 21

تعميق للمفهوم :

هل العبارة ( س + 3 = 15 ) عبارة عددية ؟ لماذا؟ [ ليست عبارة عددية لأنها تحوي متغير س ]

هل العبارة ( 6 + 6 = 12 ) عبارة عددية ؟ لماذا؟ [ نعم عبارة عددية لأنها تحوي اعداداً فقط]

هل العبارة ( 2ص- 5 = 13) عبارة رياضية ؟لماذا؟ [ نعم عبارة رياضية لأنها تحوي اعداداً ومتغير]

تطبيق :أ) ضع خطاً تحت العبارة الرياضية وخطين تحت العبارة العددية

( س+6=2 ، 7 + 1 = 8 ، 2ع – 3 =-5 ، -12 = -2 × 6 )

ب) أعط مثال لعبارة عددية وآخر لعبارة رياضية

صياغة التعريف بمشاركة التلاميذ

العبارة الرياضية هي عبارة تحوي …………….و………………… [ أعداد ومتغيرات ]

العبارة العددية هي عبارة تحوي ………………..فقط [ أعداد ]








مثال (3)

مفهوم الانحراف المعياري

(المرحلة الثانوية)

من خلال دراستنا تبين انه من الممكن أن نعطي تعريف المفهوم في البداية في المراحل العليا

الانحراف المعياري هو : مقياس يبين مدى تقارب القراءات وتباعدها لظاهرة معينة عن وسطها الحسابي

تمهيد : التنبيه على مفهوم الوسط الحسابي كمتطلب لاستيعاب مفهوم الانحراف المعياري

مثال : لا حظ القراءات التالية والتي تمثل درجات طالبين في مواد الرياضيات والكيمياء والفيزياء والأحياء في اختبار منتصف الفصل الدراسي .

درجات الطالب الأول : 12 ، 13 ، 14.5 ، 15

درجات الطالب الثاني : 3 ، 9 ، 7 ، 14


استعرض ملاحظات الطلاب على القراءات المسجلة لدرجات الطالبين ( التركيز على كلمة القراءات حتى لا يرتبط مفهوم الانحراف المعياري لدى بعض الطلاب بالدرجات )

تسجل ملاحظات الطلاب على السبورة ( القراءات للطالب الأول متقاربة وللطالب الثاني متباعدة )

كيف نقيس تقارب القراءات أو تباعدها ؟ وعن أي شي تبعد القراءات ومن ماذا تقترب ؟

الإجابة طبعا يجدها الطلاب في تعريف الانحراف المعياري

أمثلة لقراءات انحرافها المعياري صغير

أ) ( أوزان خمسة طلاب بالكجم : 37 ، 40 ، 43 ، 45 47)

ب) ( أجور أربعة عمال في اليوم بالريال : 75 ، 80 ، 85 ، 90 )

أمثلة لقراءات انحرافها المعياري كبير

أ) ( درجات أربعة طلاب في مادة الرياضيات : 1 ، 7 ، 11 ، 15 )

ب) ( أوزان خمسة طلاب في مدرسة ثانوية بالكجم : 37 ، 60 ، 80 ، 81 ، 110 )


تدعيم للمفهوم : أ) أعط أمثلة لقراءات انحرافها المعياري صغير

ب) أعط أمثلة لقراءات انحرافها المعياري كبير

ج) اكمل الفراغ فيما يلي

يكون الانحراف المعياري …………. عندما تكون القراءات قريبه من وسطها الحسابي

يكون الانحراف المعياري …………. عندما تكون القراءات بعيدة عن وسطها الحسابي

بعد ان يستوعب الطلاب مفهوم الانحراف المعياري يبدأ المعلم بشرح طريقة حسابه بالقانون

تمارا
20-01-2007, 11:54 AM
بسم الله الرحمن الرحيم

القيمة المطلقة في الرياضيات

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي : وتعرف بأنها بعد ذلك العدد بالوحدات عن الصفر على خط الأعداد ويرمز لها بالرمز ، فمثلا بعد العدد (-3 ) عن الصفر بالوحدات هو فقط 3 وحدات وبعد العدد 3 عن الصفر بالوحدات هو فقط 3 وحدات وعلى ذلك فبعد العددين { -3 ، 3 } عن الصفر هو 3 وحدات وعندها نقول ان القيمة المطلقة للعددين{ 3 ، -3 } تساوي 3 وهذا ينطبق على كل عدد حقيقي سواء كان سالب أم موجب .
مثال :- -5 = 5 ، -6 = 6 وهكذا
القيمة المطلقة كاقتران :- عندما ق( س) = س فان الاقتران سالب عندما س تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية السالبة ( ح- ) وموجبة عندما س تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ( ح +) ولكن اقتران القيمة المطلقة لا يأخذ في مداه إلا القيم الموجبة فقط فعلى ذلك فالاقتران ق(س) = س ويقرا ( اقتران القيمة المطلقة للمتغر س ) مجاله جميع الأعداد الحقيقية السالبة والموجبة ولكن

مداه فقط الأعداد الحقيقية الموجبة وبالرموز يكتب ق : ح _____ ح + .
ق(س) = س ، س  ح .
ويعاد تعريف الاقتران ق(س) = س = س ، س < 0
-س ، س > 0 ويسمى ذلك إعادة تعريف للاقتران ، ويلاحظ من خلال إعادة التعريف ان الاقتران مكون من اقترانين خطيين لهما ميلين مختلفين فالاقتران ق(س1 )= س له ميل يساوي -1 ولكن الاقتران ق( س2 )= -س له ميل يساوي –1 وأن التمثيل البياني لهذا الاقتران هو خطين متعاكسين في الاتجاه حسب التمثيل التالي :-
حيث نلاحظ ان كل من الاقترانين انعكاس
للآخر في محور الصادات ويسمى
محور الصادات في هذه الأثناء
بمحور التماثل للاقتران وكذلك
نلاحظ ان إحداثيات رأس المنحنى
هي صفر الاقتران ، أي النقطة
( 0 ، 0 ) وهذا ينطبق على جميع
اقترانات القيمة المطلقة الخطية حيث
إحداثيات راس المنحنى هي ( صفر الاقتران ، ق( صفر الاقتران ) )
وفي حالة اقتران غير خطي يكون هنالك اكثر من صفر .
مثال :- اعد تعريف الاقتران ق(س ) = 2س + 3 ثم مثله بيانيا ؟؟
2س+ 3 = 2س + 3 ، 2س + 3 < 0 = 2س+3 ، 2س < -3
-(2س+3) ، 2س+3 > 0 -2س-3 ، 2س > -3
= 2س+3 ، س < -3/2
-2س –3 ، س > -3/2 ونلاحظ ان صفر الاقتران عندما س= -3/2
وأن إحداثيات رأس المنحنى ( -3/2 ، ق(-3/2 ) ) = ( -3/2 ، 0 ) وأن محور تماثل الاقتران هو الخط المستقيم س = -3/2 .







-1 -2






نتيجة :-من خلال المثال نجد ان الاقتران قد انحرف بمقدار 1.5 وحدة باتجاه الجزء السالب لمحور السينات أي بمقدار القيمة المطلقة لصفر الاقتران ، وهذا حال جميع الاقترانات التي علــــى صورة ق(س) = أ س + ب حيث ينحرف الاقتران بمقدار -ب/أ وحدة باتجاه الجزء السالب من محور السينات . وإذا كان الاقتران على صورة ق(س ) = أس – ب فان الاقتران ينحرف بمقدار القيمة المطلقة لصفر الاقتران باتجاه الجزء الموجب لمحور السينات أي بمقدار القيمة المطلقة للمقدار ( ب/أ)

ملاحظات حول القيمة المطلقة :-
الملاحظة الأولى : أي عدد خارج القيمة المطلقة يؤثر فقط على مدى الاقتران وليس على مجاله كما يؤثر في التمثيل البياني للاقتران فان العدد الموجب المجموع للقيمة المطلقة مثل " ق( س) = أ + س يرفع التمثيل البياني للاقتران بمقدار للأعلى بمقدار القيمة المطلقة للعدد أ على محور الصادات الموجب وإذا كان العدد سالب مثل ق(س)= س - أ ينزل التمثيل البياني للاقتران للأسفل بمقدار القيمة للعدد أ على الجزء السالب من محور الصادات .كما أن أي إشارة سالبة خارج إشارة القيمة المطلقة مثـــل ق(س) = - س تؤثر على اقتران القيمة المطلقة وخاصة التمثيل البياني حيث ينعكس الشعاعان للأسفل انطلاقا من صفر الاقتران إذا كان خطيا وإذا كانت الإشارة السالبة داخل اقتران القيمة المطلقة لا تؤثر على الاقتران مثل ق(س) = - س
أمثلة محلولة :
ق(س) = س ق(س) = - س






ق(س) = 1+ س ق(س) = س - 1


1



ق(س) = -2+ س ق(س)= - 2- س












ملاحظة : يعتبر اقتران القيمة المطلقة ليس اقتران واحد لواحد ويمكن التأكد من ذلك باستعمال اختبار الخط الأفقي الذي يمر بأكثر من نقطة واحدة .




مثال محلول : مثل الاقتران ق(س) = 3 + 2س –1 بيانيا ؟
الحل :_ نلاحظ من خلال المثال أن صفر الاقتران عندما س = ½ وأن اقتران القيمة المطلقة على صورة ق(س) = أ س – ب أي ان الاقتران في التمثيل ينحرف إلى اليمين على محور السينات الموجب بمقدار ½ وحدة ويكون تمثيله البياني بالصورة :-







ولكن العدد 3 لانه موجب يرفع التمثيل لبياني الى اعلى باتجاه محور الصادات الموجب بمقدار 3 وحدات ويصبح التمثيل البياني للاقتران كاملا كالتالي :-












الملاحظة الثانية : القيمة المطلقة للاقتران التربيعي ق( س) = أ س2 + ب س + جـ وهنا يجب مراعاة العديد من الحاجات قبل اعادة تعريف الاقتران ومنها :
1- بحث اشارة الاقتران التربيعي لمعرفة اين هو موجب واين هو سالب لتحديد قيم المجال بدقة لمراعاتها عند اعادة التعريف .
2- مراعاة ان أي جزء من المنحنى في التمثيل البياني يقع تحت محور السينات يجب عكسه الى اعلى بحيث يصبح محور السينات مراة عاكسة وفي هذا المقام تتغير فقط اشارة قيم المدى لكافة النقاط التي تقع تحت محور السينات ولكن قيم المجال تبقى كما هي مثال على ذلك " نفرض أن الاقتران ق( س) = س2 - 5 وان النقطة ( 1 ، -4 ) تحقق الاقتران وعندما نأخذ القيمة المطلقة للاقتران ق( س) = س2 - 5 فان النقطة تصبح ( 1 ، 4 ) .
3- مراعاة وجود إشارة سالبة خارج اقتران القيمة المطلقة .
مثال : اعد تعريف الاقتران ق(س) = س2 -5س +6 ثم مثله بيانيا ؟
الحل : نأخذ الاقتران ق(س) = س2 -5س +6 ونساويه بالصفر لتحليل المعادلة وبحث الإشارة
س2 -5س +6 = ( س-3 ) ( س-2 ) ومنها س= 3 أو س=2










ومن خلال بحث الإشارة نجد أن إعادة تعريف الاقتران :-
ق(س) = س2 -5س +6 = س2 -5س +6 ، س < 3 أو س > 2
-(س2 -5س +6) ، 2 > س > 3

والتمثيل البياني للاقتران :-








الملاحظة الثالثة : متباينات تحتوي قيمة مطلقة " القيمة المطلقة للعدد الحقيقي "
عند تحليل أو حساب مجموعة حل متباينة تحتوي قيمة مطلقة يجب مراعاة خواص علاقة الترتيب على الأعداد الحقيقية وهناك ثلاث خواص أساسية للقيمة المطلقة للعدد الحقيقي وهي :-
أولا : س = أ وتحلل إلى إما س= أ أو س = - أ ومجموعة حلها س= { أ ، - أ } وهي القاعدة الوحيد التي مجموعة حلها مجموعة من بين الخواص الثلاث .
ثانيا : س ≥ أ وتحلل إلى - أ ≥ س ≥ -أ حيث مجوعة الحل عبارة عن فترة وهي س  [ - أ ، أ ] وإذا كانت الإشارة اقل بدون يساوي تبقى العبارة صحيحة ولكن مجموعة الحل تكون فترتها مفتوحة وليست مغلقة .
ثالثأ : س ≤ أ وتحلل إلى إما س ≤ أ أو س ≥ - أ حيث مجموعة الحل لها عبارة عن اتحاد فترتين الأولى اكبر من أ وهي [ أ ،  ) والثانية اصغر من - أ وهي ( -  ، - أ ] وأطراف الفترة من جانب العدد الحقيقي مغلقة بسبب اليساوي وإذا كانت المتباينة بدون يساوي يكون طرف الفترة مفتوحا وعلى ذلك فمجموعة الحل تكتب بالصورة س ([ أ ،  )  ( -  ، - أ ] ) .
أمثلة محلولة : أوجد مجموعة حل المتباينات التالية :-
1 ) س- 2 = 2 ، 2 ) س-2 ≥ 2 ، 3 ) س-2 ≤ 2

1) س- 2 = 2 إما س-2 = 2 أو س-2 = -2 ومنها
س= 4 أو س= صفر
مجموعة الحل س = { 4 ، صفر }
2 ) س-2 ≥ 2 إما -2 ≥ س-2 ≥ 2 بجمع المقدار 2 لكافة الأطراف
صفر ≥ س ≥ 4
مجموعة الحل س  [ 0 ، 4 ]
3 ) س -2 ≤ 2 إما س -2 ≤ 2 أو س - 2 ≥ -2 ومنها
بجمع 2 للطرفين في المتباينتين
س≤ 4 أو س ≥ 0
مجموعة الحل س  ( [ 4 ،  )  ( - ، 0 ] )

تمارا
20-01-2007, 11:55 AM
بسم الله الرحمن الرحيم

أحجية السجناء الثلاثة



أحجية السجناء
وقع ثلاثة أشخاص A و B و C سجناء في قصر حاكم ظالم ، فأعطى أمراً أن يطلق أحدهم في اليوم التالي و أن يقتل الآخران . أخبر أحد الحراس السجناء الثلاثة بالأمر ، وأعلمهم آسفاً أن الحاكم قد أمره ألا يجيب ، إذا سأله أحد السجناء عن كونه صاحب الحظ بالنجاة . واستنتج كلٌ من السجناء أن احتمال نجاته هو 1/3 . التقى السجين A ، في محاولة يائسة للحصول على المزيد من المعلومات ، سراً الحارس وسأله عن اسم

زميل له سيقتل في اليوم التالي ، ولمّا لم تكن الإجابة على هذا السؤال محظورة من قبل الحاكم فقد أجاب الحارس أن B سيقتل في اليوم التالي . فراح A فرحاً ظنّاً منه أن فرصة نجاته قد زادت لتصبح 1/2 (لأن واحداً سيلقى حتفه فقط في اليوم التالي ) فهل كان محقاً ؟

سنرمز للاحتمال بالرمز IP وسنرمز لاحتمال X علماً أن Y قد وقع بالرمز
IP(X│Y)
وسنرمز للمتمم بالرمز Xc
ولدينا القوانين التالية في الاحتمالات الشرطية :
IP(X│Y) = IP(X∩Y)/IP(Y)
IP(X) = IP(X│Y).IP(Y) + IP(X│Yc).IP(Yc)
IP(X) = IP(X∩Y) + IP(X∩Yc)

و نظراً لكون المسألة مسألة احتمال شرطي فيجب حلها على هذا الأساس و عليه فلا يجب على السجين A أن يفرح حتى نتأكد من كون احتمال سلامته كبيراً أو حتى مقبولاً
لنبدأ و الله الموفق للصواب :
ليكن X هو الحدث : > السجين A هو صاحب الحظ بالنجاة < .
ليكن Y هو الحدث : > أجاب الحارس أن B سيلقى حتفه في اليوم التالي <.
ليكن Z هو الحدث : > A و B سيلقيان حتفهما في اليوم التالي < هذا هو نفسه الحدث > السجين C هو صاحب الحظ بالنجاة < .
عندئذٍ يكون لدينا :
IP(Y∩X) = IP(Y│X)IP(X) = (1/2).(1/3) = 1/6
IP(Y∩Xc) = IP(Z) = 1/3
و من ثُمّ
IP(Y) = IP(Y∩X)+IP(Y∩Xc) = 1/2
وبناءً على ما سبق يكون:
IP(X│Y) = IP(Y∩X)/IP(Y)
IP(X│Y) = (1/6)/(1/2) = 1/3
إذن لمن يكن هناك ما يدعو السجين A للتفاؤل أو حتى للابتسام بعد سماعه إجابة الحارس ، ولكن لندعه يمضي ليلته هانئاً فربما كانت آخر ساعات حياته.
و أقول ليس هناك مبرر للمجرم الذي ينتظر الإعدام أن يفرح حتى ولو كانت نسبة نجاته 99.999% ولا داعي لمن لا ينتظر الإعدام من الركون للعيش فإن الموت يقبع وراء كل شي و لربما كان قابعاً وراء السعادة
LPL,]

تمارا
20-01-2007, 12:02 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

أصغر عالم بالكون طفل فلسطيني

منح علماء من أوروبا الطفل الفلسطيني براء ابراهيم شراري الذي يبلغ من العمر 8 سنوات درجة عالم، ليكون أصغر عالم في العالم، بعدما تمكن من إثبات نظرية جديدة في علم الرياضيات، تتلخص في اختزال عمليات الضرب الطويلة، ليتم حلها في ثوان معدودة ودون الحاجة الى القلم والورقة أو الحاسبة الآلية.
وبعد قيام ثلاثة من كبار علماء الرياضيات في بريطانيا وألمانيا وفرنسا باختبار النظرية تبين لهم أن الطفل براء


يستحق لقب عالم لأن النظرية لم تعرف من قبل وبناء عليه قررت اللجنة اعطاءه لقب عالم في الرياضيات بسبب اكتشافه نظرية لم يسبقه أحد اليها. وقالت صحيفة الحياة الجديدة في عددها الصادر اليوم الثلاثاء إنه ومن منطلق التشجيع لهذا الطفل قامت جامعة اكسفورد بتبنيه ليكمل دراسته فيها.
وما يثير الدهشة والاستغراب ان هذا العالم هو طفل فلسطيني من مخيم عين الحلوة في لبنان عمره ثماني سنوات ويعيش مع أسرته في لندن منذ سنوات وبراء الذي يعد أصغر عالم رياضيات في العالم هو الابن البكر لابراهيم الشراري الذي يعمل موظفاً في شركة بلندن ويقول الأب ان علامات النبوغ والابداع ظهرت على ابنه براء منذ الطفولة حين كان عمره نصف عام حيث تكلم بشكل لافت للنظر وبصورة أسرع كثيراً من أشقائه كما انه كان يقوم بحركات وتصرفات تدل على مظاهر الابداع والتفوق لديه ما جعله محبوباً لدى أفراد أسرته وجيرانه وأقاربه، ويستطرد الاب ان براء كان منذ دخوله المدرسة يحب الأرقام ويقوم بعمليات جمع وضرب وقسمة وطرح سريعة جداً وبشكل مذهل الى ان تم اكتشافه من قبل معلمة الرياضيات التي طالبت بوضعه في مدرسة خاصة بالموهوبين، ولأن ظروف الأسرة الاقتصادية لا تسمح بذلك بقي براء في مدرسته الى ان توصل لهذه النظرية.

تمارا
20-01-2007, 12:06 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الرياضيات و المجتمع

التقدم المعلوماتي الذي يعيشه العالم اليوم ، أصبح واقعاً أقرب إلى الحلم ؛ فقبل سنوات معدودات تبتسم عندما يقال لك أن بإمكانك قراءة ومطالعة جريدتك المفضلة وأنت في بيتك ومن غير أن تصل الجريدة إلى منزلك ، وبالمثل تصفح آلاف الكتب ، وانسدال الكثير من المعلومات بضغطة زر ، ودون حيز بالبيت يذكر .


والشواهد كثيرة ، من تدفق فضائي للمعلومة بمبلغ زهيد وبجهد قليل ........ ومصدر هذا التقدم الهائل وقائده هو أم العلوم ( الرياضيات ) عبر الخطوات المنطقية ، وأسلوب حل المشكلات ، وعلم الرياضيات الذي سيطر على العالم أجمع ، وأصبح ومع مرور الأيام علم له أهميته الاستراتيجية للدول من كافة الأصعدة ، في التخطيط المستقبلي ودراسة السكان ، والاقتصاد ، والأمن .....
حيث يبرز دورها في تعزيز الجوانب السلوكية الإيجابية في حياتنا ، من تنظيم الوقت في الطاعات ، والصلة ، والبر . وفي احترام المواعيد ودقتها التي هي قبل كل شيء خلق إسلامي نبيل .
فصاحب الرياضيات يتعامل مع الأجزاء ويهتم بها قبل الكل ، فزيادة السرعة بمقدار قليل يعتبر تجاوز للسرعة . والتأخر عن العمل دقائق كالمتأخر أكثر ، فهو يؤمن بأن المجموعة الجزئية للمجموعة تحمل خصائص المجموعة بشكل عام .
أما دورها في كبح وتحجيم الجوانب السلوكية السلبية ، من تحديد وحصر للمشكلة بمحيطها ، وجمع المعلومات حولها وربط المواقف المختلفة وفرض الفروض لها ، واتخاذ القرار الناجع بعد توقع تبعاته ومقارنته بغيره من القرارات . حيث أن للرياضيات خصائصها ومزاياها فهي تعلم وتنمي التفكير والتبرير ، وتدرب الطالب على حل مشكلاته وكيف يكون ناجحاً وواثقاً من نفسه .
إذ أن الطبيعة المجردة للعديد من المفاهيم والأفكار الرياضية تجعل من تعليمها وتعلمها عملية تحتاج لجهد أكبر مقارنة بغيرها من العلوم.
وبعد هذه التوطئة المختزلة ما هو دورنا تجاه المجتمع في التقليل من الفجوة العالقة في الاذهان عن الرياضيات وفائدتها وصعوبتها ؟

تمارا
07-02-2007, 01:06 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

البقية بمشيئة الله تعالى

السلام عليكم اين ما كنتم و رحمة الله تعالى و بركاته

الجذر التكعيبي
الجَذْر التكعِيبي واحد من ثلاثة عوامل متساوية لعدد ما. انظر: العامل الحسابي.وإذا ضُرِب هذا العدد (م) في نفسه ثلاث مرات فإنه يُكوّن الجَذْر التكعِيبي لعدد آخر (ن) . وهكذا م × م × م = ن.
فالعدد 2 مثلاً هو الجذر التكعيبي للعدد 8 لأن 2×2×2 = 8 و - 5 هو الجذر التكعيبي للعدد (-125). لأن -5 × -5 × -5 = - 125.
والعدد الصحيح له أيضا جذر تكعيبي


صحيح واحد، وقد يكون موجبًا أو سالبًا متطابقًا في ذلك مع الإشارة الموجبة أو السالبة للعدد. ويوضع رمز آخر أمام العدد ليوضح أن المطلوب هو استخراج جَذْرِه أو تحديده. وهذا الرمز يُكتب هكذا ¬ ويسمى علامة الجذر. وإذا كان الجذر المراد استخراجه جذرًا تكعيبيًا فإن عددًا صغيرًا 3 يوضع فوق علامة الجذر. إذن §¬8 تعني أن المطلوب هو استخراج الجذر التكعيبي للعدد 8.

استخراج الجذر التكعيبي باستعمال الجداول. لعل أسهل طريقة لإيجاد الجذر التكعيبي هي استعمال جداول الجذر التكعيبي أو جداول اللوغاريتمات. وتمدنا هذه الجداول بإجابات صحيحة دون الخوض في عمليات حسابية مملة. وليست لهذه الأعداد في الغالب جذور تكعيبية دقيقة وتكون الجداول مفيدة في هذه الحالات بصفة خاصة.


إيجاد الجذر التكعيبي حسابيا. قد تكون الجداول متوافرة أحيانا وقد تكون غير متوافرة إلا أنها غير دقيقة بما فيه الكفاية لحالة بعينها. وفي مثل هذه الحالة على الشخص أن يجري عملياته الحسابية بنفسه.

وهناك طريقة تعرف بطريقة نيوتن وهي طريقة يسهل تطبيقها باستخدام الآلة الحاسبة. وتُتبع هذه الطريقة لإيجاد الجذر التكعيبي لأي عدد من 1 إلى 1000. فعلى سبيل المثال: قد يرغب شخص في إيجاد الجذر التكعيبي لـ200. وبما أن 5 × 5 × 5 = 125و 6 × 6 × 6 = 216 فمن اليسير أن نتبين أن 6 هو أقرب جذر تكعيبي صحيح للعدد 200. ويمكن إيجاد التقدير التقريبي للجذر التكعيبي بإن نقسم العدد 200 على مربع 6 أي 6 × 6 الذي يساوي 36. وإذا قربت هذا إلى أقرب نسبة عشرية يكون الحاصل 6,5 وهكذا فإن 6 × 6 × 6,5 يساوي 200 تقريبا.

ولكي تحصل على التقريب الثاني للجذر التكعيبي للعدد 200 أوجد متوسط العوامل الثلاثة 6و6و6,5 وهذا يعطيك:

(6 + 6 + 6,5) ÷ 3 = 5,9

كرّر هذه العملية حتى تحصل على عدد أقرب إلى الجذر التكعيبي من الأعداد السابقة.

وهكذافإن

200 ÷ (5,9 × 5,9 ) = 200 ÷ 34,81 = 5,74

وتحصل على التقريب التالي هكذا:

(5,9 + 5,9 + 5,74) ÷ 3 = 5,85 وعند إعادة العملية مرة أخرى يكون الحاصل 200 ÷ (5,85 × 5,85) = 200 ÷ 34,2225 = 5,8441

وهذا يعطيك التقريب التالي هكذا:

(5,85 + 5,85 + 5,8441) ÷ 3 = 5,8480.

ويمكن الاستمرار في هذه العملية إلى مالا نهاية وفي كل تقريب يلي التقريب الثاني يكون لديك عدد من الأرقام أقل برقم واحد من ضعف عدد الأرقام في التقريب السابق. فمثلا التقريب الثاني 9,5 يحتوي على رقمين ويحتوي الثالث على ثلاثة أرقام ويحتوي التقريب الرابع على خمسة أرقام .

وإذا كان العدد الذي ترغب في إيجاد مكعبه لا يقع بين 1 و 1000 فإنك إما أن تضربه أو تقسمه على التوالي على 1000 حتى يقع في هذا النطاق. وسيكون الجذر التكعيبي بين 1و10. وبعد إيجاد الجذر التكعيبي، عليك إما أن تضربه أو تقسمه على التوالي على العدد 10 وأن تكرر ذلك إذا لزم الأمر حتيى تحصل على الجذر الكتعيبي للعدد الأصلي.

انظر أيضًا : المكعب؛ اللوغاريتمات؛ الجذر.

تمارا
07-02-2007, 01:08 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

لمن يريد فهم النظرية النسبية !

بينما كان العالم الرياضي الشهير " ألبرت اينشتاين " في إحدى الحفلات العامة فاقتربت منه سيدة وطلبت منه أن يشرح لها النظرية النسبية فروى لها القصة التالية:

كنت مرة مع رجل مكفوف البصر فذكرت له أنني أحب الحليب .

فسألني: ما هو الحليب ؟

قلت: إنه سائل ذو لون أبيض.

فقال : أما السائل فإنني أعرفه . ولكن


ما هو اللون لأبيض ؟

قلت: إنه لون ريش البجع.

فقال أما الريش فإنني أعرفه . ولكن ما هو البجع ؟

قلت : إنه طائر رقبته ملتوية .

فقال : أما الطائر فإنني أعرفه . ولكن ما معنى ملتوية؟

" عند إذن أخذت ذ راعه ومددتها ثم ثنيتها " وقلت هذا معنى الالتواء .

فقال الرجل : آه : الآن عرفت ما هو الحليب .

ثم قال آينشتاين للسيدة : والآن يا عزيزتي أما زلت ترغبين في أن اشرح لك النظرية النسبية


والان !!

هل يريد احد ان يفهم النظرية النسبية؟؟

تمارا
07-02-2007, 01:13 PM
بسم الله الرحمن الرحيم
التبولوجي

كلمة توبولوجي مشتقة من الكلمة اليونانية TOTTOS وتقرأ توبوس وهي تعني مكان أو موضع أو فراغ ، وأول من استخدمها الرياضي الألماني ليستنج ( 1847) ليعني هندسة الموقع . والتوبولجي من النظريات ( التركيبات ) الحديثة في الرياضيات التي نشأت في القرن التاسع عشر وتبلورت في القرن العشرين . ولو أن جذوره تمتد في الهندسة والتحليل الرياضي إلا أنه بنموه استقل عنهما وأصبح الآن أداة تخدم كل الرياضيات.



وقد نما التبولوجي من نواحي هندسية كما في التبولوجي التجميعي ( التوافقي ) combinatorial على أيدي أويلر وموبيس وكلاين وريمان وتبلور على يد بوانكريه .ونما من التحليل الرياضي وكامتداد لنظرية الفئات كما في التبولوجي التحليلي ( العام ) ، ومن ثم فإن نموه اتبع خطان أحدهما المجالات التي ينظر فيها إلى الفراغات التبولوجية على أنها تكوينات هندسية معممة ويكون التركيز فيها على تركيب الفراغات نفسها، ومن هذه المجالات التي استحدثت الهومولجي ( التبولوجي الجبري ) على أيدي ايلنبرج وستينرود ( 1930 ) ، والهومولجي عل يد أيلنبرج ( 1945 ) ، ودراسات الطي التي أثارتها أعمال بوانكريه ( 1900 ) ، ونظرية الأبعاد التي أثارتها أعمال ريمان ( 1850 - 1870 ) .

أما الخط الثاني ففي التحليل الرياضي حيث ينظر إلى االفراغات التوبولجية كحاملة للدوالة المستمرة حيث تحتل الدوال المستمرة أهمية كبرى فيها . ومن هذه المجالات نظرية بانخ ، وفراغات هيلبرت ، وجبريات بانخ ، والنظرية الحديثة للتكامل ( تكامل ليبيه ) ، ونظرية القياس ، والتحليل التوافقي الحديث ، و التحليل لدالي.

وهذ يوضح أن التبولوجي أصبح أساساً لمعظم الرياضيات المعاصرة . وعموماً فالأساس النظري لكل أنواع التبولوجي هو تركيب الفراغ التبولوجي والتبولوجي التحليلي ( العام ) .

ويعتبر كانتور من الأوئل المخترعين للتبولوجي التحليلي ، فقدم دراسة لفئات جزئية من الفراغ التبولوجي وعليها قدم المفاهيم الأساسية للتبولوجي مثل الفئات المقفولة والفئات المفتوحة ، والإنغلاق ، ونقطة النهاية ، والداخل ، والخارج ، ....خاصة على خط الأعداد.

أما تعريف الفراغ التبولوجي عن طريق الفئات المفتوحة ويسمى توبولوجي الفئات المفتوحة point set topologe فقدمه كيراتوسكي ( 1922 ) ، وعن طريق الجوار فقدمه هاوسدورف ( 1914 ) . وقد سبقهما فرشيه ( 1906 ) وريسز ( 1907 - 1908 ) في تعريف الفراغ التبولوجي عن طريق تقارب المتتابعات ولكن تعريفاتهم كانت غير مرضية ، وقدم كولموجروف ( 1935 ) وريسز ( 1907 ) ، وهاوسدروف ( 1914 ) ، وتشينوف ( 1930 ) أنواع من الفراغات التوبولوجية على أساس بديهيات الانفصال.

وببساطة الأنواع ( الأفرع أو المجالات الأساسية للتبولوجي) :

- التبولوجي التحليلي ( توبولوجي فئات النقط )
-التبولوجي الهندسي ( التجميعي )
-التبولوجي الجبري

تمارا
07-02-2007, 01:16 PM
بسم الله الرحمن الرحيم
من وين جاء الرمز (=)!!!

..استخدم الرياضيون رموزاً كثيرة للدلالة على التساوي . فاستخدم الرياضي المسلم الشهير "الخوارزمي" الحرف ل للدلالة على التساوي ، وفي الغرب استخدم العديد من الرموز .. مثل : { و ] وكتب equale للدلالة على التساوي .. وقد استخدمت الكثير من الرموز والكلمات للتعبير عن مفهوم التساوي ، إلا أن أول من استخدم الرمز "=" هو الطبيب والرياضي الانجليزي روبرت ريكورد Robert Recorde عام 1557 وذلك في كتابه whetstone of Write وهو أول

كتاب في الجبر باللغة الإنجليزية.
وقد وصف ريكورد الرمز "=" بأنه شكل يتكون من قطعتين مستقيمتين متساويتي الطول يدل على أن هناك صنفين متساويين.
وقد كان ريكورد طبيباً للملك إدوار الرابع والملكة ماري كما أنه شغل منصباً حكومياً في إيرلندا.

تمارا
07-02-2007, 01:21 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

تطور الرياضيات

كان الكتبة البابليون منذ 3000سنة يمارسون كتابة الأعداد وحساب الفوائد ولاسيما في الأعمال التجارية ببابل. وكانت الأعداد والعمليات الحسابية تدون فوق ألواح الصلصال بقلم من البوص المدبب. ثم توضع في الفرن لتجف. وكانوا يعرفون الجمع والضرب والطرح والقسمة. ولم يكونوا يستخدمون فيها النظام العشري المتبع حاليا مما زادها صعوبة حيث كانوا يتبعون النظام الستيني الذي يتكون من 60 رمزا للدلالة علي الأعداد من 1-60. وما زال النظام الستيني متبعا حتي

الآن في قياس الزوايا في حساب المثلثات وقباس الزمن (الساعة =60 دقيقة والدقيقة =60ثانية ). طور قدماء المصريين هذا النظام في مسح الأراضي بعد كل فيضان لتقدير الضرائب. كما كانوا يتبعون النظام العشري وهو العد بالآحاد والعشرات والمئات. لكنهم لم يعرفوا الصفر. لهذا كانوا يكتبون 500بوضع 5رموز يعبر كل رمز علي 100.

وأول العلوم الرياضية التي ظهرت قديما كانت الهندسة لقياس الأرض وحساب المثلثات لقياس الزوايا والميول في البناء. وكان البابليون يستعملونه في التنبؤ بمواعيد الكسوف للشمس والخسوف للقمر. وهذه المواعيد كانت مرتبطة بعباداتهم. وكان قدماء المصريون يستخدمونه في بناء المعابد وتحديد زوايا الأهرامات. وكانوا يستخدمون الكسور وتحديد مساحة الدائرة بالتقريب.

1 الرياضيات عند الإغريق
· 2 الرياضيات الهندية
· 3 الرياضيات عند المسلمين
· 4 الرياضيات عند الحضارات الأمريكية القديمة
· 5 تطور الرياضيات


الرياضيات عند الإغريق
قام الإغريق بعدما نقلوا الرياضيات الفرعونية إستطاع تاليس (طاليس) في القرن السابع ق.م. أن يجعل الرياضيات نظريات بحتة حيث بين أن قطر الدائرة يقسمها لنصفين متساويين في المساحة والمثلث المتساوي الضلعين به زاويتين متساويتين. وتوصل بعده فيثاغورث إلى أن في المثلث مربع ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع الوتر. وفي الإسكندرية ظهر إقليدس بالقرن الثالث ق.م. و وضع أسس الهندسة التي عرفت بالإقليدية والتي مازالت نظرياتهاتتبع اليوم. ثم ظهر أرخميدس (287 ق.م. – 212ق.م. ) باليونان حيث عين الكثافة النوعية .
لم يضف الرومان جديدا على الرياضيات بعد الإغريق .

الرياضيات الهندية
في بلاد الشرق نجد الهنود قد إبتكروا الأرقام العربية التي نستعملها حتي اليوم وقد أخذها العرب عنهم وأطلقوا عليها علم الخانات. وكان الهنود فيه يستعملون الأعداد العشرية من 1-9 واضافوا لها الصفر, وهذا العلم نقلته أوربا عن المسلمين.

الرياضيات عند المسلمين

في بغداد أسس الخوارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع.وفي خلافة أبي جعفر المنصور ترجمت بعض أعمال العالم السكندري القديم بطليموس القلوذي CLAUDIUS PTOLOMY ( (ت. 17 م)، ومن أهمها كتابه المعروف، باسم "المجسطي ". واسم هذا الكتاب في اليونانية " (EMEGAL MATHEMATIKE ، " أي الكتاب الأعظم في الحساب .والكتاب دائرة معارف في علم الفلك والرياضيات. وقد أفاد منه علماء المسلمين وصححوا بعض معلوماته وأضافوا إليه. وعن الهندية، ترجمت أعمال كثيرة مثل الكتاب الهندي المشهور في علم الفلك والرياضيات، سد هانتاSiddhanta أي " المعرفة والعلم والمذهـب ". وقد ظهرت الترجمة العربية في عهد أبي جعفر المنصور بعنوان "السند هند.ومع كتاب "السند هند" دخل علم الحساب الهندي بأرقامه المعروفة في العربية بالأرقام الهندية فقد تطور على أثرها علم العدد عند العرب، وأضاف المسلمون نظام الصفرمما جعل الرياضيين العرب يحلون الكثير من المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات، فقد سهل استعماله لجميع أعمال الحساب، وخلص نظام الترقيم من التعقيد، ولقد أدى استعمال الصفر في العمليات الحسابية إلى اكتشاف الكسر العشري الذي ورد في كتاب مفتاح الحساب للعالم الرياضى جمشيد بن محمود غياث الدين الكاشي (ت 840 هـ1436 م)، وكان هذا الكشف المقدمة الحقيقية للدراسات والعمليات الحسابية المتناهية في الصغر. و استخرج إبراهيم الفزاري جدولاً حسابياً فلكياً يبين مواقع النجوم وحساب حركاتها وهو ما عرف بالزيج . وفي بغداد أسس الخزارزمي علم الجبر والمقابلة في أوائل القرن التاسع . . وكان من علماء بيت الحكمة ببعداد محمد بن موسى الخوارزمي (ت 232 هـ846 م) " الذي عهد إليه المأمون بوضع كتاب في علم الجبر، فوضع كتابه " المختصر في حساب الجبر والمقابلة وهذا الكتاب هو الذي أدى إلى وضع لفظ الجبر وإعطائه مدلوله الحالي. قال ابن خلدون: "علم الجبر والمقابلة (أي المعادلة) من فروع علوم العدد، وهو صناعة يستخرج بها العدد المجهول من العدد المعلوم إذا كان بينهما صلة تقتضي ذلك فيقابل بعضها بعضاً، ويجبر ما فيها من الكسر حتى يصير صحيحاً". فالجبر علم عربي سماه العرب بلفظ من لغتهم، و الخوارزمي هو الذي خلع عليه هذا الاسم الذي انتقل إلى اللغات الأوروبية بلفظه العربي ALGEBRA .و ترجم هذا الكتاب للاتينية في سنة 1135 م .وظل يدرس في جامعات أوربا حتى القرن 16 م. كما انتقلت الأرقام العربية إلى أوربا عن طريق ترجمات كتب الخوارزمي الذي أطلق عليه في اللاتينية "الجور تمي "ALGORISMO ثم عدل للجورزمو ALGORISMO للدلالة على نظام الأعداد وعلم الحساب والجبر وطريقة حل المسائل الحسابية وظهرت عبقرية "الخوارزمي " في " الزيج " أو الجدول الفلكي الذي صنعه وأطلق عليه اسم "السند هند الصغير،،وقد جامع فيه بين مذهب الهند، ومذهب الفرس، ومذهب بطليموس (مصر )، فاستحسنه أهل زمانه ذلك وانتفعوا به مدة طويلة فذاعت شهرته وصار لهذا الزيج أثر كبير في الشرق والغرب. وقد نقل الغرب العلوم الرياضية عن العرب وطوروها. وعرف حساب أباكوس: Abacus.أو أباكس.لوحة العد . وهي عبارة عن اطار وضعت به كرات للعد اليدوي. وكانت هذه اللوحة يستعملها الاغريق والمصر يون والرومان وبعض البلدان الأوربية قبل وصول الحساب العربي أوربا في القرن 13. وكان يجري من خلال لوحة العد الجمع والطرح والضرب والقسمة.

الرياضيات عند الحضارات الأمريكية القديمة
وفي حضارة المايا بالمكسيك عرف الحساب . وكان متطورا . فالوحدة نقطة والخمسة وحدات قضيب والعشرون هلال . وكانوا يتخذون اشكال الإنسان والحيوان كوحدات عددية .


تطور الرياضيات

وبناء على ما سبق فإن الرياضيات ظهرت بداية كحاجة للقيام بالحسابات في الاعمال التجارية، و لقياس المقادير، كالاطوال و المساحات، و لتوقع الاحداث الفلكية، يمكن اعتبار الحاجات الثلاث هذه البداية للاقسام العريضة الثلاث للرياضيات، و هي دراسة البنية، الفضاء، و التغير. ظهرت دراسة البنى مع ظهور الاعداد، و كانت بداية مع الاعداد الطبيعية و الاعداد الصحيحة و العمليات الحسابية عليها، ثم ادت الدراسات المعمقة على الاعداد الى ظهور نظرية الاعداد. كما ادى البحث عن طرق لحل المعادلات الى ظهور الجبر المجرد، ان الفكرة الفيزيائية الشعاع تم تعميمها الى الفضاءات الشعاعية و تمت دراستها في الجبر الخطي.
ظهرت دراسة الفضاء مع الهندسة، وبدأت مع الهندسة الاقليدية و علم المثلثات، في الفضائين ثنائي و ثلاثي البعد، ثم تم تعميم ذلك لاحقا الى علوم هندسية غير اقليدية، لتلعب دورا في النظرية النسبية العامة.
ان فهم و دراسة التغير في القيم القابلة للقياس هو ظاهرة عامة في العلوم الطبيعية، فظهر التحليل الرياضي كاداة مناسبة للقيام بهذه العمليات، حيث ان الفكرة العامة هي التعبير عن القيمة بتابع، و من ثم يمكن تحليل الكثير من الظواهر على اساس دراسة معدل تغير هذا التابع.
مع ظهور الحواسيب، ظهرت العديد من المفاهيم الرياضية الجديدة، كعلوم قابلية الحساب، تعقيد الحساب، نظرية المعلومات، و الخوارزميات. العديد من هذه المفاهيم هي حاليا جزء من علوم الحاسوب.
حقل اخر هام من حقول لرياضيات هو الاحصاء، الذي يستخدم نظرية الاحتمال في وصف و تحليل و توقع سلوك الظواهر في مختلف العلوم، بينما يوفر التحليل الرياضي طرقا فعالة في القيام بالعديد من العمليات الحسابية على الحاسوب، مع اخذ اخطاء التقريب بالاعتبار

تمارا
07-02-2007, 01:25 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

مسألتان للتفكير


1. وعاء مملوء بحبات من الجوز . جاء راوي عدّها وأخذ 19/3 منها. ثمّ جاءت فيروز وأخذت 16/3 من الكمية التي وجدتها. ثمّ جاءت كفاح وأخذت 13/5 من الكمية التي وجدتها. ثمّ جاء طارق وأخذ 8/3 الكمية التي وجدها. وأخيراً جاءت كوثر فوجدت في الوعاء 55 حبة فأخذتها. كم حبة أخذ كلّ شخص ؟






2. مجموعة من الأصدقاء يلعبون. جميعهم من سخنين وعرّابة ودير حنّا. معروف أنّ 5 أشخاص منهم ليسوا من سخنين , وأنّ 6 أشخاص منهم ليسوا من عرّابة , وأنّ 7 أشخاص منهم ليسوا من دير حنّا. كم شخصاً في المجموعة؟

من كتاب الكشاف في الرياضيات – تأليف د. علي عثمان –سخنين - حيفا

تمارا
07-02-2007, 01:27 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

نظرية الابن البار للرياضيات

تقول نظرية الابن البار للرياضيات
في كل مثلث معلوم الاضلاع (ا ب ج) حيث النقطة ن منتصف القطعة ب ج
فان
طول مربع القطعة ا ن يساوي
مربع ا ب + مربع ا ج - نصف مربع ب ج و الكل على 2



تقول نظرية الابن البار للرياضيات
في كل مثلث معلوم الاضلاع (ا ب ج) حيث النقطة ن منتصف القطعة ب ج
فان
طول مربع القطعة ا ن يساوي
مربع ا ب + مربع ا ج - نصف مربع ب ج و الكل على 2

تمارا
07-02-2007, 01:29 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

لكي لا تخدعك النظرات الأولى

لا شك أنّك تعرف الاعداد الأوّليّة: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…….
تنظر في مجموعة المعادلات:
2*3+1=7 , 2*3*5+1=31 2*3*5*7+1=211 . تسأل نفسك:
ماذا ألاحظ ؟ نضرب أعداداً أوّليّة متتالية ثم نجمع 1 . الأجوبة التي حصلنا عليها هي 7 و31 وهما عددان أوليّان . بعد الفحص يتبيّن لك أن العدد 211 هو أيضاً أوّلي. فيستهويك حبّك في الإكتشاف لأن تعلن عن اكتشافك نظريّة . إلاّ أنّك تعيد النظر خشية من الخطأ , لأنّك تعلم أنّ الإنسان معرّض للخطأ . تقول في نفسك:

من الصواب أن أفكّر بالتعميم لأكتشف نظريّة ولكن من الضروري أيضاً أن أشكّ في صحته أيضاً ما دمت لم أبرهنه. تجلس لتفكّر في البرهان ثمّ تقف وتمشي عسى أن يلهمك اللّه الفكرة. ثمّ تستلقى تفكّر , فتنام وأنت تفكّر . تصحو من نومك
تقول: سأتصل بصديقي أحمد لأخبره باكتشافي . ثمّ تقول هل فعلاً سيرضيه هذا الخبر! ألا يغار مني! ثمّ تقول: ما هذه الأوهام المزعجة؟ لو اتصل صديق لي واخبرني بنجاحه, أفلا أفرح لنجاحه؟ بالطبع يسعدني نجاح زملائي جميعاً , لذلك فإنّ أحمد سيفرح لفرحي. ولكن قبل أن تتصل بصديقك هذا تقول: لأتأكّد أكثر فأفحص ألمعادلة التالية في الدّور:
2*3*5*7*11+1=2311 . تفحص إن كان العدد أوّليّاً . فتحسب جذره التربيعي فتجد أنه أقل من 49 . فتفحص قابليّة قسمة 2311 على الأعداد الأوّليّة الأصغر من 49 . أيّ أنّك تقسمه على الأعداد: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 تفحص بواسطة الحاسبة التي ترتعد بين يديك من خوفها أن تعطي عدداً صحيحاً نتيجة لقسمة عددك هذا على أحد هذه الأعداد . ينتهي الأمر على خير. فتتأكّد من أنّ العدد2311 أوليّ. فتسرع إلى جهاز التلفون لتتصل بصديقك أحمد. فيفرح أحمد لفرحك, ولكنه يزعجك بصراحته عندما يقول لك: أعطني يوماً لأفحص. فتقول له: ماذا تفحص! ألا تثق بي؟ يقول لك : أثق بك في كل شيء, لكن من الضروري أن أشكّ في صحة القضيّة, ما دمنا لم نبرهنها. تعود لترضى من صديقك. لأنّك عرفت أنّه يحسن التفكير مثلك. ولن تغضب من أحمد حين يعلمك في اليوم التالي بعدم صدق نظريتك حيث يقول:2*3*5*7*11*13+1=30031 , العدد 30031 ليس أوّليّاً لأنّ :
59*509=30031. فتشكر أحمد وتعرف أنّكما في الطريق الصحيح لأجل الإكتشاف

تمارا
07-02-2007, 01:32 PM
بسم الله الرحمن الرحيم
الرياضيات في اللغة

نسمع ونقرأ كثيراً العبارة " لا تـُحصى ولا تـُعَدّ " وأحياناً هناك من يقولون أو يكتبون العبارة بترتيب معكوس " لا تـُعَدّ ولا تـُحصى". في الحالتين يراد التضخيم والمبالغة. أيّ العبارتين هي العبارة الصحيحة ؟ أهي مجرد صيغ جمالية أو جمل إنشائية؟ مثل " واسع ورحب " , " كريم وجواد" حيث نعطف الكلمة أو التعبير على ما يرادفه. أم هي صيغة مبالغة( مبالغة في الإيجاب أو مبالغة في السلب , مبالغة في التفخيم أو مبالغة في التصغير) مثل : " سريع في الحساب وأسرع من الحاسبة" , "كريم ومستعد أن يعطي كلّ ما يملك" , " الشكل ليس مستطيلاً وليس فيه ضلعان متوازيان" , " لا يدري ولا يدري أنّه لا يدري" , " لا يقتنع برأيّ ولا يريد أن يستمع" , " الجذر التربيعي للعدد 2 ليس عدداً صحيحاً وليس عدداً نسبياً ".


عندما يكون العطف لمجرد الجمال أو لإضافة نعت مكافىء فلا يتغير المعنى عند قلب الترتيب. لا بل نكون قد فعلنا خيراً للكثير من القارئين أو السامعين بأن ندلّهم على معنى التعبير الذي قد يكون غريباً عنهم. ولكن عندما تكون العبارة صيغة مبالغة فيكون قلبها مضحكاً أو قل سخيفاً. فما رأيك في العبارات" إنّه مستـُعَدّ أن يعطي كل ما يملك وهو أيضاً كريم " , " إنّه لا يريد أن يستمع لرأيي وإنّه لا يقتنع برأيي" , " لا يوجد ضلعان متوازيان في الشكل وهو ليس مستطيلاً " . تقبل أن يفسر لك القائل معنى التعبير أو الكلمة ولكنّ عقلك يرفض أن يستنتج لك القائل الإستنتاجات البسيطة مما يقول. فما دام الشخص لا يريد الأستماع لرأيه فمن الواضح أنّه لا يقتنع به . إنّها نتيجة بسيطة تستطيع استنتاجها , فلماذا يستخف بتفكيرك فيقولها لك. إنّ متوازي الأضلاع هو" شكل رباعي كلّ ضلعين متقابلين فيه متوازيان". من بين صفات متوازي الأضلاع تساوي كلّ ضلعين متقابلين فيه. من السهل استنتاجها, ولكن لا يسمح بإضافتها كجزء من التعريف. لأنّ من شروط التعريف في الرياضيات عدم ارتباط الشروط اللازم تحققها في الشىء الذي نعرّفه. أيّ انّه لا يجوز أن نذكر شرطاً يمكن استنتاجه من باقي الشروط. وذلك حفاظاً على سلامة المنطق الرياضي وجمالية اللغة الرياضية واحتراماً لتفكير القارىء واهتماماً بتقليص عدد المسلّمات الأساسية في أيّ علم ليكون العلم أكثر دقّة. نعود الآن إلى العبارة التى هي محور الحديث وهي " لا تـُحصى ولا تـُعَدّ ". إنّ هذه العبارة هي نفي العبارة " تـُحصى أو تـُعَدّ " . عندما نقول عن مجموعة أنّها تـُحصى , فإننا نعني أنّها مجموعة نهائية. ( أظنّ أنّ مصدر الفعل" أحصى " جاء من الكلمة " الحصى " أي الحجارة الصغيرة . فكيف كان صاحب قطيع من الماعز يعرف إن كان قطيعه كاملاً أم ناقصاً في العصور القديمة, حين كانت الأعداد مجهولة ؟ كان يلائم لكل عنزة قطعة من الحصى, ويضع الحصى في حوض. وعند عودة الماعز فمقابل كل عنزة تدخل ينقل قطعة من الحصى إلى حوض مجاور. فإن تبقى حصى في الحوض عرف أنّ قطيعه ناقص بمقدار الحصى المتبقى في الحوض. فإن صار الحوض فارغاً , عرف أنّ قطيعه عاد سالماً . بهذه الطريقة كان يحصي قطيعه . بالرغم من أن عدد الحصى على الأرض كبير, إلاّ أنّه نهائي لكون الأرض نهائية).
ما معنى تـُعَدّ ؟ تعريف 1: نقول عن مجموعة أنّها تـُعَدّ ( أو قابلة للعدّ ( countable )) عندما يمكن مقابلة عناصرها مع الأعداد الطبيعية أو مع مجموعة جزئيّة نهائية(تـُحصى) منها. أيّ أنّ بالإمكان ترتيب عناصرها ترتيباً تسلسلياً (نهائياً أو لانهائي): ألأوّل, الثاني, الثالث, الرابع,........ وبما أنّ الأعداد الطبيعية .......,1,2,3,4,5 هي مجموعة لانهائية فإنّ كلّ مجموعة تعد,ّ قد تكون مجموعة لانهائية(infinite ) مكافئة لمجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة نهائية(finite ).
هناك تعريف آخر لمجموعة تـُعَدّ وهو تعريف 2: نقول عن مجموعة أنّها تـُعَدّ (قابلة للعدّ ) إذا كانت مكافئة للأعداد الطبيعية. حسب هذا التعريف لا تعتبرالمجموعات النهائية مجموعات قابلة للعدّ. ممّا قد يجعله مرفوضاً لغويّاً, إلاّ أنّه مسموح من الناحية الرياضية, ما دام المفهوم قاطعاً. وهو تعريف معتمد في كثير من كتب الأدب الرياضي. ولكنّ التعريف الأوّل هو الأكثر شيوعاً في الكتب والمقالات حول نظريّة المجموعات(عالميّاً). في القرآن الكريم الآية" وإن تـَعُدّوا نعمة اللّه لا تـُحصوها". أيّ أنّ : لو كانت مجموعة نعَم اللّه مجموعة تـُعَدّ فإنّها لا تـُحصى, أيّ أنّها لانهائية. يفهَم من هذا أنّ التعريف المعتمَد في القرآن الكريم لـ " مجموعة تـعًدّ " هو التعريف الأوّل, وهو الأكثر قبولاً عالميّاً. ما معنى " مجموعة لا تـُعَدّ " حسب التعريف الأوّل؟
سأسمي العطف بـ-" أو" مثل "نجح زيد أو نجح عمرو" عطفاً احتمالياً. وأسمي العطف بـ-" و " مثل " نجح زيد و نجح عمرو" عطف جمع. إنّ جملة النفي للجملة " نجح زيد أو نجح عمرو" هي " ما نجح زيد و ما نجح عمرو ". وجملةالنفي للجملة " نجح زيد و نجح عمرو" هي " ما نجح زيد أو ما نجح عمرو ". أيّ أنّ جملةالنفي للعطف الإحتمالي هي جملة عطف جمع للنقيضين, وجملة النفي لعطف الجمع هي جملة عطف احتمالي للنقيضين. (هذان المبدآن هما مبدآ ديمورغان في المنطق الرياضي). بما أنّ المجموعة التي تـُعَدّ هي مجموعة " نهائية أو مكافئة للأعداد الطبيعية " فإنّ المجموعة التي لا تـُعَدّ هي مجموعة " لانهائية ولا تكافىء الأعداد الطبيعية ". صحيح أنّ مجموعة الأعداد الطبيعية والمجموعات المكافئة لها, هي مجموعات لانهائية, ولكنّها هي الأقل عظمة وكثافة بين المجموعات اللانهائية. انظر إلى محور الأعداد وانظر تحديداً الى القطعة من 0 إلى 1 . من المؤكّد وجود لا نهاية من النقاط ( لأن بين كل نقطتين توجد نقطة أخرى). إنّ طول هذه القطعة وحدة قياس واحدة (من وحدات القياس المعروفة مثلاً المتر). لكنّ النقطة عديمة الطول( أيّ أنّ طول كل نقطة 0 ). فلو كانت مجموعة النقاط ما بين 0 و1 قابلة للعدّ لأمكن ترتيبها على شكل سلسلة لانهائية x1,x2,x3,x4,......... . وعندما نبدأ بجمع أطوالها , فإننا نجمع أصفاراً , فالمحصلة 0 . وهذا يناقض كون طول القطعة وحدة واحدة. أي أن هذه المجموعة هي أعظم عدداً من مجموعة الأعداد الطبيعية, وهناك مجموعات أعظم وأعظم. فما نوع العبارة " المجموعة لا تـُحصى ولا تـُعَدّ " ؟ إنّها صيغة مبالغة ومعناها أنّ المجموعة ليست فقط لانهائية بل إنّها لا تكافىء الأعداد الطبيعية عظمة , إنها أشدّ عظمة منها. وماذا مع العبارة " المجموعة لا تـُعَدّ ولا تـُحصى"؟ مثل هذه العبارة كمثل العبارة " كلّ أهل سخنين يحبون فريق اتّحاد أبناء سخنين وأيضاً أهل الحارة الشرقية في سخنين يحبونه ". من غير المقبول أن نضيف للمجموعة مجموعة جزئيّة منها. كما لا يجوز لك أن تقول : معي ألف شاقل وفي جيبي الأيمن مائة شاقل, لذلك معي ألف ومائة شاقل.
نعود إلى التعريف الثاني. فحسب هذا التعريف, مجموعة لا تـُعَدّ هي مجموعة لا تكافىء الأعداد الطبيعية , فهي: مجموعة تـُحصى( نهائية) أو مجموعة لا تـُحصى ولا تكافىء الأعداد الطبيعية. عندما نقول " المجموعة لا تـُعَدّ " فتوجد إمكانيتان. وعندما نعطف عليها "لا تـُحصى" نلغي بذلك الإمكانية الأولى. فيكون معنى " المجموعة لا تـُعَدّ ولا تـُحصى" هو أنّ المجموعة "لانهائية ولا تكافىء الأعداد الطبيعية". هي أعظم من لأعداد الطبيعية ( مثل قطعة على محور الأعداد). رأينا أنّ للجملتين : " المجموعة لا تـُحصى ولا تـُعَدّ " , حسب التعريف الأوّل , و " المجموعة لا تـُعَدّ ولا تـُحصى" , حسب التعريف الثاني , نفس المعنى. وهو أنّ المجموعة ذات عظمة أكبر من الأعداد الطبيعية. أيّ أنّها لانهائية ولا يمكن ترتيبها على شكل متوالية.

تمارا
07-02-2007, 01:33 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

ألا تحب أن تعرف السر؟ اليكـــ ما تريد

الى من أراد أن يعرف كيف تأخرنا عن الغرب و كيف للغرب أن يتباهوا بما وصلوا اليه اليك أيها القارئ لمقااللتي : عندما ...كان الامس القريب بلاد الاسلام منارة للعقول بكل أنواع العلوم ومنها الرياضيات العلم الذي اشتهر به المسلمين ونبغوا به .... لم يرث أبناء هذه الأمة هذا العلم ليواصلوا المسيرة .....مسيرة العلم والرياضيات بل ورثه من كان حريصا. على أن يصل...


الى نور العلم .......... أتعلمون من هم ............هم الغرب الذين واصلوا عندما توقفنا وووصلوا بالرياضيات الى مختلف الصناعات ... والتطور ....................... كل ذلك كان بعلم اشتهر به العرب والمسلمين . فيا شباب هذه الأمة االله بهذا العلم فبكم نصل الى .......... ما نريد من عزة لدين الله ...... وتطبيق لقول الله تعالى "وقل اعملوا فسيرى الله عملكم ..........."ا

تمارا
07-02-2007, 01:34 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

نبذه تاريخيه عن الرياضيات

يعتبر الإغريق هم أول من درس الأعداد الأولية و خصائصها ، حيث كان رياضيو مدرسة فيثاغورس ( 500 ق.م إلى 300 ق.م ) مهتمين بالأعداد و خصائصها السحرية و المنطق العددي ، فقد فهموا فكرة الأولية ، و كانت الأعداد التامة Pefect كما هو مبين أدناه باللون الأحمر :

(ما هو العدد التام ؟


تعريف : يسمى العدد الصحيح الموجب n عددا تاما إذا كان هذا العدد مساويا لمجموع كامل عوامله الموجبة بدون العدد نفسه .



مثال : 6 هو أول عدد تام حيث أن : 6 = 1 + 2 + 3)

و الأعداد المتحابة (Amicable) موضع اهتمامهم كما هو مبين أدناه باللون الأحمر :


(الأعداد المتحابة (Amicable) :

تطلق هذه الصفة على كل زوج من الأعداد الصحيحة يكون مجموع العوامل الفعلية المختلفة لأحدهما مساو للعدد الآخر ، مثلا ، العددان 220 و284 لأن

عوامل 284 هي 1 ، 2 ، 4 ، 71 ، 142 ، و هذه تجمع إلى 220 ، كما أن عوامل العدد 220 هي

1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 11 ، 20 ، 22 ، 44 ، 55 ، 110 و هذه مجموعها 284 )



لقد أثبت العلماء الإغريق القدامى في حوالي 300 ق.م أن هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، فقد أثبت إقليدس ذلك كما في الكتاب الرابع من العناصر و يعد اثباته هذا من الإثباتات الأولى التي استخدمت البرهنة بالتناقض لإثبات نتيجة ما ، كما أثبت العلماء الإغريق أيضا أن الأعداد الأولية تتوزع بطريقة غير منتظمة ( فمن الممكن أن تجد فراغات مطلقة كبيرة بين أي عددين أوليين متتاليين و من الممكن لا )


و قدم إقليدس أيضا برهان على النظرية الأساسية في الحساب التي تقول : أي عدد صحيح يمكن كتابته كحاصل ضرب أعداد أولية ، أثبت إقليدس أيضا أنه إذا كان العدد أولي فإن العدد يكون تاما ، و قد استطاع الرياضي أويلر(Euler- 1747 ) أن يثبت أن جميع الأعداد التامة الزوجية هي من هذه الصورة أي ، و لا يعرف لحد الآن هل يوجد عدد تام فردي ، و في حوالي (200ق.م) اكتشف الإغريقي إيراتوستين خوارزمية لحساب الأعداد الأولية تسمى غربال إيراتوستين .

بعد ذلك كان هناك فراغ كبير في تاريخ الأعداد الأولية فيما يسمى بالعصور المظلمة ، و لكن التطور الهام التالي تم بواسطة فيرمات مع بداية القرن السابع عشر حيث أثبت ظنية ألبرت جيرالد التي تقول : أن كل عدد أولي من الصورة يمكن كتابته بطريقة واحدة كحاصل جمع مربعين ، و كان بالإمكان اثبات إمكانية كتابة أي عدد كحاصل جمع أربع مربعات ، كما اكتشف طريقة جديدة لتحليل الأعداد الكبيرة و التي أثبتها بتحليل العدد 2027651281=44041×46161 .

كذلك أثبت ما يعرف بمبرهنة فيرمات الصغيرة التي تقول أنه إذا كان p عدد أولي فإنه لأي عدد صحيح a يكون :

p modulo ap= a أو ap-1º 1 (mod p) شرح modulo كما هو مبين باللون الأحمر :

modulo) :

وظيفة رياضية تعطي باقي القسمة ، فمثلا : 8 mod 6 = 2 و تستخدم في الرياضيات الحديثة في دراسة قابلية القسمة فنكتب مثلا : 24 = 3 (mod 7) ، و ذلك يعني أن في حالة اعتبار المعيار هو 7 فإن 24 فيها ثلاث سبعات و الباقي 3 ، و هناك تفصيلات موسعة لهذه الوظيفة في الرياضيات المجردة .)

.


و قد أثبتت هذه النظرية نصف ما يعرف بالفرضية الصينية التي وضعت قبل 2000 سنة و التي تقول أن أي عدد صحيح n يكون أوليا إذا و فقط إذا كان العدد يقبل القسمة على n . النصف الآخر من هذه الفرضية خاطئ حتى الآن فعلى سبيل المثال العدد : يقبل القسمة على 341 رغم أن العدد 341 مركب ( 341=31×11) .

و تعتبر مبرهنة فيرمات الصغيرة هذه هي الأساس لكثير من النتائج في نظرية الأعداد ، و كذلك هي الأساس لعدة طرق لمعرفة الأعداد الأولية و التي ما زالت تستخدم حتى الآن في الحواسيب الإلكترونية .

و قد وافق فيرمات في ما توصل إليه مع رياضيي عصره ، و بالخصوص مع مونك مارين ميرسين (Mersenne) ففي أحد رسائله إلى ميرسين تحدث فيرمات عن حدسه في أن العدد يكون أوليا دائما عندما يكون n من قوى العدد 2 ، مثل ( 1 ، 2 ، 4، 8 ، 16 ، ..... ) و قد تحقق من ذلك بالنسبة للأعداد (n = 1 , 2 , 4 , 8 , 16 ) ، و أوضح بأنه إذا كانت n ليس من قوى 2 فالنتيجة خاطئة .

و الأعداد من هذه الصورة سميت بأعداد فيرمات ، و قد كان فيرمات مخطئا في حدسه هذا و لم يتم إثبات ذلك إلا بعد أكثر من 100 سنة و ذلك عندما أثبت أويلر أن العدد :

= 4294967297 يقبل القسمة على 641 و بالتالي فهو ليس أوليا .

أما بالنسبة للأعداد من الصورة فقد استدعت انتباه الرياضيين لسهولة إثبات أنه إذا لم يكنnعددا أوليا ، فيجب أن يكون العدد مركبا ، و قد سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسين لأنه اهتم بها كثيرا و قام بدراستها ، و في الحقيقة أن الأعداد من الصورة عندما يكون n أوليا ليست دائما تكون أعدادا أولية ، فعلى سبيل المثال العدد

( = 2047 = 23 × 89 عددا مركبا ) .

و سأخصص الفصل القادم لأعداد ميرسين الأولية ، حيث أنها ظلت هذه الصورة لعدة قرون تقدم - و إلى الآن - أكبر الأعداد الأولية المعروفة ، فقد تم إثبات أن العدد M19 أولي بواسطة كاتالدي (Cataldi) في 1588 ، و ظل هذا العدد هو أكبر عدد أولي لمدة 200 سنة حتى أثبت أويلر أن العدد M31 هو أولي ، و قد ظل هذا العدد الأولي الأخير هو الأكبر لقرن آخر حتى أثبت ليوكاس (Lucas) أن العدد M127 ( المكون من 39 رقما ) أوليا و هذا العدد ظل هو الأكبر حتى ظهور الحواسيب الإلكترونية ، حيث أثبت روبنسون (Robinson) في 1952 و باستخدام الحواسيب الأولى أن الأعداد M521 ، M607 ، M1279، M2203 ، M2281 أولية ، و كان حتى 1998 قد تم اكتشاف 37 عددا أوليا من أعداد ميرسين ، و كان أكبرها هو العدد M3021377 و الذي يتكون من 909521 رقما ، و سيأتي ذكره لاحقا .

كان لأعمال أويلر وقع و أثر كبير في نظرية الأعداد بشكل عام و في الأعداد الأولية بشكل خاص ، حيث تمم مبرهنة فيرمات الصغيرة و وسعها ليقدم دالة فاي لأويلر ، و كما أشرنا في الأعلى استطاع تحليل عدد فيرمات الخامس كما وجد في تحليله ذلك 60 زوجا من الأعداد المتحابة ، و وضع ما جاء بعد ذلك ( و لم يستطع اثباته ) و هو ما عرف بقانون التعاكس التربيعي .

و كان أويلر أول من أدرك إمكانية دراسة نظرية الأعداد باستخدام أدوات التحليل و الذي أدى إلى اكتشاف مادة التحليل العددي ، و قد استطاع أويلر إثبات أنه ليست المتسلسلة التوافقية ( Harmonic Series) فقط متباعدة ( divergent ) بل أن المتسلسلة :

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+... المكونة من مجموع مقلوب الأعداد الأولية أيضا متباعدة ( divergent ) ، و مجموع الحدود n في المتسلسلة التوافقية يبلغ تقريبا log(n) ، بينما المتسلسلة السابقة تتباعد بشكل بطيء إلى log(log(n)) ، و هذا يعني أن مجموع مقلوبات ( reciprocals ) كل الأعداد الأولية التي تم اكتشافها حتى بالحواسيب الفائقة يساوي تقريبا 4 فقط ، لكن مع ذلك المتسلسلة تبقى تتباعد إلى ∞ .

أما بالنسبة لانتشار الأعداد الأولية و كثافتها فمن النظرة الأولى يبدو أن الأعداد الأولية تنتشر بطريقة عشوائية بعض الشيء بين الأعداد الصحيحة ، فعلى سبيل المثال في 100 عدد السابقة لـ 10000000 يوجد 9 أعداد أولية ، بينما في 100 عدد التالية يوجد عددان أوليان فقط .

مهما يكن في الأعداد الأولية الكبيرة فإن الطريقة التي تنتشر فيها الأعداد الأولية هي منتظمة جدا ، فقد قام ليجاندر ( Legendre) و جاوس (Gauss ) بإجراء حسابات موسعة في كثافة الأعداد الأولية .

لقد أخبر جاوس صديقه أنه لو حصل على 15 دقيقة و هو غير مشغول فسوف يقضيها في حساب الأعداد الأولية الأطفالية ( أول 1000 عدد أولي ) ، و يذكر جاوس أنه حتى نهاية حياته قد حسب ثلاثة ملايين عدد أولي .

كلا من ليجاندر و جاوس وصلا إلى استنتاج و هو أنه لأي عدد n كبير ، فإن كثافة الأعداد الأولية القريبة من هذه العدد تساوي تقريبا 1/log(n) ، و أعطى ليجاندر تقديرا لـ p(n) ( عدد الأعداد الأولية الأقل من n ) حيث وجد : p(n)=n/(log(n)-1.08366 ، في حين أن جاوس قدم تقديرا على صورة تكامل لوغاريتمي هو :

p(n)=∫(1/log(t))dt حيث أن مدى التكامل من 2 إلى n .

و تسمى العبارة بأن كثافة الأعداد الأولية هي 1/log(n) بمبرهنة الأعداد الأولية ، و قد كانت هناك عدة محاولات لإثباتها تواصلت خلال القرن التاسع عشر بتقدم ملحوظ بواسطة تشبيتشيف (Chebyshev ) ، و ريمان (Riemann) و هذا الأخير ربط النظرية بما سماه فرضية ريمان ، و سأحاول أن أغض الطرف عن هذه الفرضيات و البراهين عليها لأنها بحوث متقدمة و متخصصة إلى حد ما ، و ما زال هناك العديد من الأسئلة المفتوحة تتعلق بالأعداد الأولية ، و بعضها ما زال من مئات السنين كمسألة العدد التام الفردي .

أما بالنسبة لكيفية معرفة و إكتشاف الأعداد الأولية فتوجد طرق كثيرة أقدمها و أسهلها هو ما يعرف بغربال إراتوستين ( Sieve of Eratosthenes ) و طريقة القسمة العادية (trial division ) ، حيث ما زالتا هاتان الطريقتان هما الأسهل لإيجاد الأعداد الأولية الصغيرة جدا ( الأقل من 1000000 ) .

أما بالنسبة لإيجاد الأعداد الأولية الكبيرة فهناك طرق خاصة تستخدم ، و هذه الطرق هي حالات خاصة من نظرية لاجرانج من نظرية المجموعات .

و نشير هنا إلى مفهوم وضع في 1984 بواسطة صمويل ييت و هو : Titanic Primes ، أي الأعداد الأولية الهائلة ، و عرفها بأنها الأعداد المكونة من 1000 رقم على الأقل ، و كان عدد هذه الأرقام يومها 110 أرقام ، أما الآن ( أي بعد 17 سنة فقط ) فإن عددها يفوق ذلك العدد بأكثر من 1000 مرة ! و مع استمرار تقدم الحواسيب الإلكترونية التي تعطي فرص أكبر للبحث عن أعداد أولية أكبر فإن هذا العدد يتزايد باستمرار ، و نتوقع بعد مدة قصيرة رؤية أول عدد أولي ذو 10 ملايين رقم .

تمارا
07-02-2007, 01:36 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

نتيجة مربعة في المربع السحري

خصائص هذا المربع السحري اذا أدخلت أي عدد ( في الخانة الحمراء ) فسوف تحصل على نتيجة ( في الخانة البرتقالية ) تساوي مربع هذا العدد شرط ان يكون هذا العدد مزدوج, والمربع سيعطي أعداد صحيحة تتناسب مع قاعدة المربع السحري. صمم من طرف الاستاذ دهمش فاتح مصطفى.



ا


في هذا المربع السحري ادخل العدد الذي انت تريد النتيجة سوف تكون مربع العدد الذي ادخلته في الخانة الحمراء.

تمارا
07-02-2007, 01:45 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

الإحصاء و تحليل الشفرة

من الضروري لقراءة عبارة مثل ZH WKH SHRSOH معرفة مفتاح شفرتها و علم التشفير cryptology هو دراسة تشفير و فك تشفير الرسائل فالتشفير يعني كتابة العبارات كرموز in cods بينما فك و تحليل الشفرة يعني ترجمة هذه الرموز إلى العبارات الأصلية .
و الإحصاء هي أحد الطرق المستخدمة في تشفير و فك و تحليل الشفرات . ولما كان علم الإحصاء هو دراسة تنظيم و تحليل البيانات فإن المشفرين يستخدمونه في تحليل مقالات عادية من الجرائد و المجلات يحسبون مدى تكرار حروف الهجاء في هذا المقال و يطلق على هذا الإجراء ما يسمى بتحليل


المحتوى .
و في دراسة عن اللغة الإنجليزية أثبت الباحث أن حرف E هو الحرف الأكثر تكرارا في هذه اللغة .
و بذلك يعرف المشفرون أن الرمز الأكثر تكرارا في أي عبارة يقابل الحرف E و لهذا إذا نظرنا إلى العبارة السابقة فإننا نستطيع أن نخمن أن الحرف H يقابل الحرف E في النص الأصلي . و ليس من الضروري أن يكون هذا التخمين صحيحا .

الآن : هل يمكنك حل الشفرة السابقة ZH WKH SHRSOH ؟

إنها تعني : WE THE PEOPLE
و طريقة تشفير هذه العبارة كانت إزاحة الحرف الأصلي 3 خانات إلى الأمام .
تسمى هذه الطريقة بطريقة يوليوس قيصر Julius Caesar الذي كان أول من استخدمها

تمارا
07-02-2007, 01:49 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

مقدّمة البرهان التزامني, المطلق والمتكامل لفرضية فيرما الأخيرة

في المنهجيّة:
تتعلق فرضية فيرما الأخيرة بمعادلة المثلث الفيثاغوري ذي الرمز:
(الوتر)2 = (ضلع)2 + (ضلع)2
a2 = b2 + c2
بحيث انّ a هو الوتر في هذا المثلث الشقولي (التعامدي).
ملخص هذه الفرضية: استحالة


ملخص هذه الفرضية: استحالة وجود معادلة مماثلة ذي أسّ (power) أكبر من 2 , شرط ان تكون الأعداد صحيحة. وكان فيرما كتب بخط يده: " لقد وجدّتُ برهاناً رائعاً حقاً لا يتّسع له ضيق هذا الهامش " . مات فيرما ولم يجد أحد حتى اليوم هذا البرهان " الرائع حقاً ". هنانقطة انطلاق هذه الفرضية التي حيّرت علماء العالم منذ 1665م.
بالتالي يكمن التحدّي في اكتشاف برهان فيرما كما حدس به بنفسه وكما فكّر فيه لاحقاً.

بعد وفاة فيرما (1665) بدأ علماء الرياضيات في العالم بمحاولة برهان فرضية فيرما, وأبرزهم:
- اويلر (1707 – 1783) برهن صوابية الفرضية بالنسبة الى الأسّين 3 و4 .
- لوجندر (1752 – 1833) بالنسبة الى الأسّ 5 .
- العالمة صوفي جيرمين (1776 – 1831) أوضحت بعض نقاط فرضية فيرما.
- كومير (1810 – 1893) برهن صوابية الفرضية حتى الأسّ 100.
- في العام 1937 برهن علماء الرياضيات صوابية الفرضية بالنسبة الى أسّات الأعداد الأولية الأصغر من 14000.
- في العام 1955 برهن Taniyama-Shimura الفرضية بشكل غير مباشر وجزئياً.
- في العام 1960 استعمل العلماء " الكمبيوتر " للأسّات حتى 12500.
- في العام 1983 برهن ج. فالتينغز الفرضية بالنسبة الى الأعداد a, b and c الأولية بينها.
- في 23/6/1993 أعلن أستاذ الحساب البريطاني أ. وايلز أنّه وضع برهاناً للفرضيّة. انّما بعد بضعة أسابيع أعلن أستاذه البروفسور جون كوتس انه وجد " ثغرة " (gap) في برهان تلميذه وايلز. لذلك اضطرّ هذا الأخير الى الاستعانة بالأستاذ تايلور لإعادة صياغة البرهان وسدّ الثغرة. انّما بلا نجاح. وها هو ج. فالتينغز نفسه لخّص البرهان الجديد المعدّل وكتب في المقدمة:

“The paper of Taylor and Wiles does not close this gap but circumvents it.”
(ان ورقة تايلور ووايلز لم تسدّ هذه الثغرة بل دارت حولها).
هذا الاعتراف الصّريح لم يتمّ نشره في الانترنت, حيث نجد ان وايلز نجح في برهان أعقد مسألة في الرياضيات منذ أكثر من 3 قرون!

من جهتنا لا نعتبر أنّ هناك مجرّد " ثغرة " في برهان وايلز- تايلور بل ان البرهان بأكمله لا علاقة له بفرضية فيرما. كيف ذلك؟

منطلق برهان وايلز- تايلور هو الأهليلج Ellipse ذي المعادلة:

التي وضعها Abel العام 1827 بعد 162 سنة من وفاة فيرما, بينما فرضية فيرما تستند على معادلة المثلث الفيثاغوري التالية:
a2 = b2 + c2
وهي شبيهة في المظهر فقط بمعادلة الأهليلج بينما تختلف جوهريّاً منها.
فلماذا عجز علماء الرياضيات في العالم على حلّ هذه الفرضية؟ قد نجد الجواب في تعليق عالم الرياضيات الفرنسي " ألان كون " الحائز على ميدالية Fields (1982) وعضو أكاديمية العلوم الفرنسية وهو أستاذ في كوليج دوفرانس وفي معهد الدراسات العلمية العليا:
" قد نتسائل لماذا لم يحلّ علماء الرياضيات مسائل ذات صياغة بسيطة جداً مثل مبرهنة فيرما. في اعتقادي ان مثل هذه المسائل لم تندمج وتتكامل بعد بصورة متسقة في عالم الرياضيات, أو لعلّ السبب يكمن في عدم تفهّم دلالات المسألة المطروحة بشكل كافِ " ( مجلة " العلوم " الكويتيّة أيلول 1992 ص79).

انه اعتراف صريح من عالم يحترم تفكيره.

لنعطِ مثلين يدلان على هذا العجز:

المثل الأوّل: ان استمرار التطبيق على أسّات أكبر من 2 حتى وصل علماء الغرب الى الاستعانة ﺒ " الكمبيوتر " يدلّ على عدم استيعاب عصر فيرما حيث لم تكن توجد الا آلة حاسبة بدائية وهي Pascaline التي لم يستعملها فيرما. فكيف له أن يجزم بالمطلق بعدم وجود معادلة شبيهة بمعادلة فيثاغوراس ذي أسّات أكبر من 2 أي ذي أسّات لانهائية؟ حتى لو استعمل فيرما آلة Pascaline فأنّه لن يصل الى الأسّ 1000 أو أقل, فكيف يجزم بالنسبة الى الأعداد اللانهائية؟ ثمّ كيف لم يستوعب علماء الغرب, طوال أكثر من 300 سنة, الطريق المسدود الذي سلكوه لبرهان فرضية فيرما؟

المثل الثاني: هذا الخلط العجيب بين معادلة فيثاغوراس ومعادلة الأهليلج, وكأنّ الانطلاق من معادلة الأهليلج – كما فعل وايلز وتايلور – هو نفسه كالانطلاق من معادلة فيثاغوراس بسبب التشابه في المظهر. وهذا ما أجمع عليه المراقبون العلميون الذين استنتجوا لاحقاً ان وايلز لم يبرهن مباشرة فرضية فيرما, اضافة الى انه قدّم برهاناً ناقصاً وجزئياً مع زميله تايلور.

لذلك طرحنا برهاننا العقلاني المتكامل استناداً على وثائق ورسائل كانت معتبرة مفقودة وهي مؤرّخة من سنوات 1698 – 1702 م. وقد ساعدتنا هذه الوثائق والرسائل على اكتشاف ما فكّر فيه فيرما نفسه واعتبره " برهاناً رائعاً حقاً ".
وكان زميلنا غسّان أبو النصر أعلن هذا البرهان من على منبر " المجلس الوطني للبحوث العلمية " في 17/1/2003 ونشرت جريدة " المستقبل " - بيروت ملخّصاً عنه في عددها 18/1/2003 ص20.
2) في مقدّمة البرهان:

ما هو سرّ برهان فيرما؟
-أولاً- بخلاف منهجية علماء الغرب والشرق طوال أكثر من 300 سنة فاننا انطلقنا من معادلة فيثاغوراس على أساس كونها معادلة هندسية وليست ألجبرية.
-ثانياً- بالتالي كان لا بدّ من توثيق تطوّر علم الهندسة في عصر فيرما. فكانت المفاجأة: كان فيرما وعلماء عصره على اطلاع بالمخطوطات العلمية للعلماء العرب والمسلمين, على الأخصّ في مجال الهندسة, والتي كانت مترجمة الى اللاتينية.
من هؤلاء العلماء الذين اهتمّوا بمعادلة ورسمة فيثاغوراس نذكر ثابت بن قرّة.
كان فيرما معجباً بثابت بن قرّة لإسهامه المبتكر في تحويل مثلث فيثاغوراس الى مثلث هرمي. هنا السرّ وهنا الحلّ. وهنا عبقريّة فيرما في طرح فرضيّة لا يمكن لغير العرب أن يستوعبوا جوهرها ويقدّموا الحل الحاسم لها.
-ثالثاً- يمكن تقسيم هذا الحل الى 3 مراحل تفكيرية هي أقرب الى الحدس – النتيجة منها الى الحدس – البديهة.
-أ- المرحلة الأولى: نقطة فيرما
-ب- المرحلة الثانية: خط اقليدس
-ج- المرحلة الثالثة: مثلث فيثاغوراس الهرمي
-رابعاً- ماذا نستنتج من كل ذلك؟
انّ هذه الفرضية ليست مجرّد مسألة حسابية أو الجبرية أو حتى هندسية بسيطة بل هي تختزن في طياتها ملتقى أفكار حضارات متعدّدة: من حضارات الشرق القديم الى الحضارة الاغريقية ثمّ الحضارتين العربية والاسلامية وصولاً الى الحضارة الاوروبية المسيحية في القرن 17 م.
-خامساً- انّ برهاننا العقلاني المتكامل لفرضية فيرما فتح أمامنا آفاقاً علمية لم نكن نتوقعها. فمن خلاله استطعنا طرح 15 نظرية جديدة في الرياضيات والفيزياء أعلناها في سهرة علمية في 7/7/2005 ونحن نواصل مناقشتها مع من يهمّه الأمر.
اللقاءات العلميّة

تمارا
07-02-2007, 01:51 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

مستويات فان هايل للنمو الهندسي

مستويات فان هايل Van H iele للنمو الهندسي :

المستوى (صفر) : التصور Visualization : اكتشاف التلميذ للمفاهيم الهندسية الأساسية مثل الأشكال البسيطة بصورة بصرية للمفهوم ككل دون اعتبار لخصائص مركباته .
المستوى (1) : التحليل Analysis : اكتشاف التلميذ للمفاهيم الهندسية بوسائل تحليلية غير شكلية لتركيب أجزائه و صفاته المميزة . ( تكوين الخصائص الضرورية للمفهوم ) .


المستوى (2) : التجريد Abstraction : يرتب التلميذ خصائص المفهوم منطقيا .. يضع تعريفات مجردة يستطيع التمييز بين الضرورة و الكفاية لمجموعة من الخصائص في تحديد المفهوم .
المستوى (3) : الاستنتاج Deduction : اكتشاف التلميذ شكليا من خلال نظام رياضي " إكمال فقرات غير معرفة – مسلمات – النظام المنطقي – مفهوم نسبيا – يتعامل مع المعرفات و النظريات .
المستوى(4) : التجسيد Rigor : يستطيع التلميذ مقارنة الأنظمة بناء على افتراضات كما يستطيع دراسة هندسات متعددة في غياب النماذج الحسية.

تمارا
07-02-2007, 02:01 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

مربع سحري يساوي صفراُ

هذا المربع السحري يتكون من 25 عمود و 25 صف نتيجة كل صف من صفوفه او عمود من اعمدته او قطر من قطريه يساوي صفر (0)


والغريب في هذا المربع فهو مكون من 25 مربع سحري بداخله ونتيجة كل عمود من اعمدته او كل صف



من صفوفه او قطر من قطريه يساوي صفر ( 0 ) والغريب في هذا المربع العجيب وسطيا ( 0 ) اواذا اخترت اي مربع بداخله بداية من 5 * 5 او 10 * 10 او 15 * 15 او 20 * 20 او 25 * 25 فكلها نتيجة واحدة ( 0 )


اختر اي مربع بداخله نتيجته سوف تكون حتما في كل الاتجاهات (0)

تمارا
07-02-2007, 02:03 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

البحث عن الانماط والعلاقات (للاستاذ خالد عزايزه)

لبحث عن الأنماط والعلاقات

المقدمة:

الرياضيات هي علم استكشافي يبحث جميع أنواع الأنماط: الأنماط التي تحصل في الطبيعة، الأنماط التي يخترعها العقل البشري والأنماط التي تتولد عن أنماط أخرى ولكي ينمو الأطفال رياضياً فيجب أن يتعرضوا لأنواع مختلفة من الأنماط التي تتناسب مع حياتهم والتي يشاهدوا من خلالها التنوع والانتظام والارتباطات الداخلية (Steen 1995, p.8).
وقد لاحظت في هذا الكتاب أنماطا متعددة: أنماطا في الرياضيات، أنماطا في تعلم الأطفال للرياضيات وأنماطا لطرق التدريس. وسنتعرض في هذه الوحدة للأنماط والعلاقات العددية وغير العددية في الرياضيات وسنركز في الجزء الأول على تمييز ووصف وتوسيع وإيجاد الأنماط ومن ثم تمثيل ووصف العلاقات التي تقتضيها معايير المنهاج والتقييم للرياضيات المدرسية للصفوف (K-4) و(8-5). ونركز في الجزء الثاني على نظرية الأعداد من أجل البحث عن الأنماط والعلاقات الخاصة في الأعداد الكلية.
.
المقدمة


الأنماط والعلاقات:
نصادف طوال حياتيا اليومية الأنماط المختلفة: في الموسيقى وصور الفيديو، في تصميم الزخارف والهندسة الطبيعية، في إشارات المرور وفي الأشكال التي نصنعها. وتمثل قدرتنا على تمييز وتفسير وخلق الأنماط المفتاح للكون حولنا (Senegal, 1990, p.139 ).
إذا أخذنا الأنماط برؤية واسعة فإنها نفتح أمامنا مجالات متعددة لعملية التعليم فالأنماط تزود الأطفال بطريقة لربط أفكار رياضية متعددة ولاستخدام الرياضيات بطرق مختلفة. ومن الممكن أن نبني على خلفية الطلاب في وصف الأنماط والعلاقات باللغة الدارجة اليومية لمساعدتهم على تمثيل هذه العلاقات والأنماط بالرموز الرياضية. فمثلاً إذا وصف الأطفال النمط الكلامي "كل حد يزيد عن الحد السابق له باثنين" فبإمكانهم وصف الحد النوني بـِِِ )ن+2( وبذلك تصبح الأنماط والعلاقات طريق طبيعي يؤدي لفهم الاقتران والجبر، وكلما ساعدت طلابك على وصف الأنماط والعلاقات باستخدام الصور والكلمات والجداول والمتغيرات كلما أصبحت معلوماتهم الرياضية أكثر قوة .
الأنماط المتكررة
قد تكون الأنماط المتكررة سهلة أحياناً ولكنها تكون محيرة أحياناً أخرى. ويجب أن نبدأ مع الأطفال بأنماط يستطيعون استيعابها فالنمط الذي يتكون أساسه ( الجزء المتكرر فيه) من عنصر أو عنصرين والذي يسمى بالنمط الخطي المتكرر يشكل بداية حسنة مع الأطفال. وقبل أن تبدأ بأنماط صورية يمكن البدء باستخدام بعض الأفكار الموضحة في (الشكل 15-1 ) والتي تعرف بالنمط (ab) وذلك بان تستخدم الأطفال أنفسهم كأنماط (الأول يجلس والثاني يقف والثالث يجلس والرابع يقف... وهكذا)، وبعد أن ينفذ عدداً منهم ما تقول يمكن أن تسأل: "ماذا يجب أن يعمل الطالب التالي ؟" وستساعد هذه الطريقة بعض الأطفال على اكتشاف النمط سماعياً.
ولكون اللون يعتبر صفة بصرية واضحة فيمكن استخدام الألوان لبناء نمط آخر بترتيب مكعبات صغيرة: احمر اصفر احمر اصفر..... كما يمكن استخدام أشكال هندسية أو أصوات أو أرقام أو أي أنماط أخرى وعندما يألف الأطفال هذا النوع من الأنماط فيمكن توسيع العملية لأنماط أصعب أو جعل الطلاب يعملوا أنماطا بأنفسهم
هناك أنماط خطية متكررة عديدة يكون فيها الجزء المتكرر مختلف عن (ab).
فمثلاً كيف تصف الأساس (الجزء المتكرر) في الأنماط التالية؟
A. ؟؟@؟؟@؟؟@.....
B. #*#**#*#**#*#**.....
C. @$@$$@$@$$@$@$$.....
يمكن وصف الأساس للنمط الأول على أنه abb ؛ كما يمكن وصف الأساس للنمط الثاني بـِ ababb مع أن بعض الطلاب قد يرونه مكوناً من نمطين ab و abb يتكرران بهذا الترتيب. ويمكن وصف النمط الثالث بطريقة مشابهة للثاني.


والمهم في كل هذا أن يصف الطلاب النمط بأي طريقة وكيف يشبه أو يختلف عن أنماط أخرى ويمكن أن يعرض للمعلم يومياً أنماطاً خطية متكررة مختلفة لكن يجب عدم تشابه الأنماط الهندسية وتعطي الأنشطة 15- 1 و15- 2 نشاطات لدمج المفاهيم الهندسية مع الأنماط. ويجب البدء دائماً بالأمثلة السهلة فقد يكون الجزء المتكرر من واحد الى أربعة أجزاء أو ما يزيد عن ذلك أكثر صعوبة بالنسبة للأطفال
والأنماط المتكررة قد لا تكون خطية فقد تكون ذات بعدين أو ثلاثة أبعاد وتعتبر التقويم(calendar) نمط ذو بعدين وموجود عادة في كل فصل ويمكن إيجاد العلاقة بين تاريخ أي يوم في الشهر مع تاريخ ذلك اليوم في الأسبوع التالي أو السابق( أكثر سبعة أو اقل بسبعة) كما يمكن عمل مربع حول أي تاريخ و استنتاج العلاقة بين الأرقام الممثلة للإضلاع ومجموعها وعلاقته بالرقم المركزي فالمجموع مثلاً يعادل تسعة أمثال الرقم الأصلي ويستطيع الطلاب الأكبر سناً إثبات ذلك باستخدام الحروف لتعريف الأرقام التسعة الممثلة للأضلاع بدلالة الرقم الأوسط وتعتبر هذه النشاطات باستخدام التقويم طريقة جميلة لتسهيل الدخول لموضوع الجبر.
الأنماط المتنامية:
يمكن أن تكون هذه الأنماط خطية مثل (ababbabbbabbbb) حيث ينمو احد الطرفين فقط أو مثل (FGFFGGFFFGGG) حيث ينمو كلا الطرفين ويمكن أن تكون ذات بعددين كما في الشكل 15-4
العلاقات:
تتوفر العلاقات بكثرة في الرياضيات وسيكون التركيز هنا عن العلاقات ذوات الأرقام أو المتغيرات فيمكن أن نسأل الأطفال عن العلاقة بين عدد الأولاد في المجموعة وعدد الأيدي وإذا بدأ الطلاب بعمليات الضرب بالرموز فيمكن أن تعرض لهم الحد العام هنا بأنه يساوي 2xب حيث تمثل ب عدد الأولاد وتعمل جدول بسيط يمثل عدد الأولاد وعدد الأيدي كي يكتشف الطلاب العلاقة.

مثال آخر هو عدد الطالبات وعدد المثلثات المكون باستخدام الخيط كما في الشكل التالي
وهي مختلفة عن الأولى حيث أنها تعتبر 3 إلى 1 وليس 1 إلى 2 كما في المثال السابق.
وقد يجد بعض الأطفال صعوبة في وصف الحد العام لأن ذلك يتطلب القسمة وليس الضرب وهنا يجب على المعلم أن يتقدم ببطء ويضع المعلومات في قائمة ليساعد الطلاب على استنتاج الحد العام بسهولة


ويمكن إنشاء العلاقة باستخدام "آلة الاقتران" التي تعطي مخرجة لكل مدخلة وهنا يجب الطلب من الأطفال إعطاء المخرجة إذا عرفت المدخلة أو العكس والمثال الموجود (ص 324) بمثل بالعلاقة
(ن ¬ 2 ن + 1 ) لكن إذا أعطيت الطلاب مخرجة زوجية مثل 64 فستكون الإجابات مختلفة فالبعض سيقول إن ذلك مستحيل والبعض الآخر سيعطي مدخلة كسرية (½31 )
وقبل الحديث عن الحد العام لا بد من وصف المخرجات بدلالة المدخلات أو وصف ماذا تعمل آلة الاقتران بالكلمات والأرقام وبعد ذلك يمكن تجريب الرموز المجردة
وقد يستطيع الطلاب التعميم بالقول " اجمع العدد الأول مرتين وأضف واحداً" أو" ضاعف العدد الأول وأضف واحداً" وعندما يصلوا هذه المرحلة يمكن عرض طريقة أخرى للكتابة ن+ن+1 أو (2xن) +1
وهناك طريقة ممتعة مرحة لتمثيل العلاقات من خلال الألغاز العددية كالموضح في شكل (15-1). ففي المرحلة الأولى يمكن للأطفال حل اللغز بأرقام مختلفة وبعد تجريب هذا اللغز عبر أرقام مختارة من الطلاب أنفسهم يكن الانتقال إلى الخطوة التالية بحيث يمثل الطلاب الخطوات باستخدام المواد المحسوسة وتوضح هذه الخطوة عما إذا طور الأطفال المفاهيم المتعلقة بهذه العملية فإذا اكتشفت أن بعض الأطفال لا يستطيعون تمثيل النموذج " اضرب بالعدد2" أو" اقسم العدد على2" فلا بد من تعزيز هذا المعنى وعندما يبدأ الأطفال بنمذجة العلاقة فأنهم سيجدون المتعة في وصف الخطوات جبريا.ً ويمكن ملاحظة المفاهيم التي اكتسبوها في هذه المرحلة وسيلاحظون بسهولة أن 2x(ن+4) هو نفسه 2 xن+8 لأنهما طريقتان لوصف الصورة نفسها.


نظرية الأعداد :
نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات تتعلق بشكل أساسي بالأعداد الطبيعية. وتعتبرالأعداد الزوجية والفردية والأولية وتحليل العدد الى عوامله الأولية والأنماط العددية والمضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر من المواضيع التي يحتويها منهاج المدارس الابتدائية والمتوسطة.
أولاً: لماذا يتم تدريس نظرية الأعداد؟:
هناك خمسة أسباب على الأقل لاحتواء المنهاج المدرسي في المرحلة الابتدائية على نظرية الأعداد
1- الافتتان( الإعجاب) بالأعداد والأنماط العددية:
منذ الحضارات القديمة والإنسان معجب بشدة بالأعداد والأنماط العددية وقد ظن الأقدمون بان الأرقام لها صفات غامضة محيرة وقد درس علم ألعداده ( علم الأرقام التنجيمية السحرية) بعمق من قبل بعض الناس بينما أعجب آخرون بالأنماط العددية كالتي تحصل في خريطة مثلث المائة(15-3) ص325 وسيفتتن الطلاب إذا أعطوا الفرصة الكافية بالأعداد الواردة في هذه الخريطة وخصائصها غير العادية لذلك فإن احد الأسباب لدراسة نظرية الأعداد هو إيقاظ الشعور بالإعجاب للأعداد في المحيط الذي يتطلب النظر للعلاقات وحل المسائل
2- الفرصة لاكتشاف الرياضيات:
بعض الفرضيات في نظرية الأعداد سهلة في النص صعبة في الإثبات فمثلاً فرضية جولدباخ والتي تنص على أن "أي عدد زوجي اكبر من 2 يمكن كتابته كحاصل جمع عددين أوليين" سهلة الفهم حتى في الصف الرابع أو الخامس ويمكن للأطفال اختبار هذه الفرضية لأول مائة من الإعداد الزوجية ثم اختبار فرضيات أخرى كالموجودة في النشاط( 15-4ص326) وعمل سجل للفرضيات غير الصحيحة والصحيحة مع التشديد هنا على أن طريقة التجريب هذه لا تعتبر برهاناً رياضياً للفرضية لكنها صحيحة للأرقام المجربة فقط. وفي الحقيقة فأن فرضية جولدباح لم تثبت حتى الآن وسيشعر الطلاب بالسعادة لاكتشافهم أنماط في مثلث المائة أو فرضيات أو خاصية القسمة حتى لو لم تكن هذه الاكتشافات مهمة وذات بال .
3- التوسع والممارسة:
يحتاج بعض المعلمين للمساعدة على العمل الفردي في بعض المواضيع فإذا أراد المعلم مثلاً مراجعة الضرب والقسمة لبعض الطلاب بينما البعض الآخر لا يحتاج لمثل هذه المراجعة فإن نظرية الأعداد توفر توسعاً لهذا البعض بإعطائها نشاطاً إضافيا (النشاط 15-5 الأعداد التامة والزائدة والناقصة) بينما يراجع المادة الأصلية مع الطلاب متدني المستوى .
4- الاستجمام :
توفر نظرية الأعداد نشاطات من نوع الألغاز التي يجد فيها الأطفال نوعاً من الاستجمام وقد لا يجد بعض الطلاب المتعة في هذه الألغاز ولكن إذا ابتدأ المعلم بالغاز السهلة فقد يستمتع الطلاب بهذا النوع من النشاط. وأثناء عملية حل الألغاز يمارس الطلاب بعض المهارات ويطوروا الإحساس بالأرقام واستعمال استراتيجيات حل المسألة وفي المربع السحري( شكل 15- 5) سيتعلم الأطفال فوراً أن الرقمين الكبيرين لا يمكن أن يكونا في صف واحد أو قطر واحد. ويمكن عمل هذا النشاط بالورقة والقلم ولكن استخدام البطاقات أفضل لان هذه البطاقات تجعل النشاط اقرب للألغاز من ناحية ويوفر الوقت المستهلك في مسح المحاولات الخاطئة من ناحيةٍ أخرى. ولكن مساوئ استخدام البطاقات أن الطفل لا يسجل محاولاته السابقة وبذلك فقد يعيد نفس المحاولات مرة أخرى.
5- استخدام نظرية الأعداد في مواضيع رياضية أخرى .
يمكن استخدام نظرية الإعداد للتدريب على العمليات الأربعة الأساسية وفي حل المسائل وفي بعض المواضيع الرياضية الأخرى فمثلاً يمكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر لإيجاد المضاعف المشترك للمقامات واستخدام القاسم المشترك الأكبر في تبسيط الكسور كما أن كثيراً من مواضيع نظرية الأعداد تساعد في إجراء والتأكد من الحسابات فمثلاً يمكن استخدام اختبار القسمة كطريقة سريعة لرؤية أن عدداً ما يقسم عدداً آخر .


ثانياً: مواضيع خاصة بنظرية الأعداد:
هناك بعض المهارات المتعلقة بنظرية الأعداد متوقعة وجودها عند معظم الطلاب وسنختبر هنا بعض الطرق لتطوير هذه المهارات وكأي مهارة أخرى يجب أن يتم المحافظة عليها بعد أن يتم تطويرها فإذا تعلم الطفل عن معنى العدد الأولى في الصف الرابع ثم تجاهل الموضوع لاحقاً فإن ذلك يؤدي إلى نسيانه، وقد وجد أن 58% فقط من الطلاب في عمر13 سنة استطاعوا اختبار التعريف الصحيح للعدد الأولي (Carpenter et al, 1981).
ومن الأهمية بمكان أن يبقى في الذهن سبب دراسة نظرية الأعداد فإذا كان تعلم الطلاب للتعريفات والقوانين فقط فنكون قد خسرنا القوة الحقيقية لنظرية الأعداد
(1) الأعداد الفردية والزوجية:
يعتبر تصنيف الأعداد إلى فردية وزوجية من أول مواضيع نظرية الأعداد التي يواجهها الطلاب, فعندما يعد الطلاب 2, 4، 6، 8،... فإنه يتعلم أن هناك صفة مختلفة لهذه الأعداد تختلف فيها عن الأعداد الأخرى ألا وهي أنها مضاعفات العدد2.
ويمكن أن يبدأ تعليم الأعداد الفردية والزوجية بعمل نماذج لهذه الأعداد باستخدام القطع المربعة كما يلي: يعطى كل طفل قطع مربعة متساوية (2الى20) ويفترض الأطفال أنهم سيصنعون قطع حلوى عرضها مربعين فإذا استطاع الطالب ترتيب المربعات لتكون مستطيل عرضه مربعان اثنان فإن عدد المربعات زوجي وإلا فإن العدد فردي ويطلب من الطلاب جدوله الأعداد الفردية والزوجية ويجب أن التأكد من أنهم لاحظوا أن كل ثاني عدد هو زوجي وان هذه الأعداد تنتهي بـِ صفر،2، 4، 6 أو 8 ويمكن للطلاب لاحقاً أن يستخدموا نموذج قطع الحلوى لاستقصاء مجموع عددين زوجين أو مجموع عددين فرديين أو حاصل ضرب عدد فردي بعدد زوجي
وكما هو ملاحظ في الشكل 15-6 فإن مجموع عددين فرديين يعطي عدد زوجي وان حاصل ضرب عدد فردي بعدد زوجي هو عدد زوجي ويجب البحث في مواقف يستخدم فيها الأعداد الزوجية والفردية فقد يجد الطلاب مجموع الخمسين عدد فردي الأوائل كما يمكن إيجاد احتمال الحصول على مجموع زوجي عند رمي حجري الزهر عشوائياً وهكذا .
(2) العوامل والأعداد الأولية والتحليل لعوامل أولية
يبدأ الطلاب بتعلم المضاعفات والعوامل من خلال تعلمهم عمليتي القسمة والضرب .
‌أ. العوامل:
عند ضرب عددين لإعطاء حاصل ضرب يسمى كل من العددين عاملاً لحاصل الضرب ويمكن للطلاب استكشاف العوامل باستخدام المحسوسات فمثلاً يمكن أن يبدأ باثني عشر جسماً ثم يعيدوا تجمعيها آحاداً وأزواجا وثلاث وأر بعات.. واثني عشر مجموعة . فهناك 12 مجموعة ذات عنصر واحد وستة مجموعات ذات عنصرين وأربعة مجموعات ذات ثلاثة عناصر وثلاثة مجموعات ذات أربعة عناصر ومجموعتين ذات ستة عناصر ومجموعة واحدة ذات اثني عشر عنصراً، لكن اثني عشر جسيماً لا يمكن تجميعها خمسات، سبعات، ثمانيات، تسعات أو عشرات.
وفي النهايةً يمكن الطلب من الأطفال التعبير عن هذه التجميعات كحاصل ضرب
12 = 12x1
12 = 6x2
12 = 4x3
12 = 3x4
12 = 2 x6
12 = 1x12


لاحقاً يجب أن يتمكن الطالب من إيجاد جميع العوامل لعدد ما.
فمثلاً ما هي جميع عوامل 84؟
إن أسهل طريقة للبداية هي محاولة إيجاد بعض الأعداد التي تقسم العدد 84 وليبدأ الطالب بأسهل العوامل. فنحن نعلم أن العدد 1 يقسم 84 لذلك فإن 1 و84 هما عاملان لـِ 84. بعد ذلك نجرب الأعداد 2، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، ... فإذا كان العدد يقسم 84 فإننا سنجد العامل المرافق الآخر ونستمر بهذه الطريقة حتى نحصل على جميع العوامل.







84 ،42 ،28 ،21 ،14 ،12 ، ،11، 10، ،9 ، 8،7 ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1

ويمكن للطلاب تجريب 8، 9، 10، 11 لكنهم سيكتشفون أن هناك باقي للقسمة في كل حالة.
هناك نشاط(15-6) لعبة نتطلب من الأطفال إيجاد العوامل للأعداد من 2الى 36 وإتباع بعض الاستراتيجيات( يمكن تجريبها مع صديقك ولكن الفوز ليس بالسهولة المتوقعة)
‌ب. المضاعفات:
مضاعف عدد معين هو حاصل ضرب ذلك العدد بأي عدد كلي طبيعي ولإيجاد المضاعفات لعدد معين نبدأ بهذا العدد ونولد باقي المضاعفات بضربه بالأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، ...ويمكن استخدام مواد مختلفة لتوضيح المضاعفات كخط الأعداد، وأعواد المعكرونة ( الطعام) وخريطة المائة. ويجب أن تكون مضاعفات الأعداد من 1الى10 مألوفة للأطفال من خلال حقائق الضرب.
ومفهوم المضاعف ليس صعباً فهو حاصل ضرب ولكنه كلمة جديدة يمكن أن يخلط الطفل بينها وبين كلمات جديدة أخرى مثل العامل أو القاسم وممكن أن يحصل الالتباس إذا سأل المعلم"36 مضاعف لأي عدد" ويقصد المعلم هنا العوامل وعندما يسأل" 4 عامل لأي عدد" ويقصد بها إيجاد مضاعفات العدد 4 . ويجب أن يتمكن الطفل من التفكير باتجاهين فمثلاً يذكر مضاعفات العدد 7 ويجد أيضا الأعداد التي يكون 42 مضاعفاً لها لكن في بداية تعلم المضاعفات والعوامل يجب أن تكون اللغة المستعملة واضحة .
‌ج. الأعداد الأولية والمركبة:
يكون العدد الذي يزيد عن 1 أوليا إذا كانت عوامله 1 ونفسه فقط وما عدا ذلك يعتبر العدد مركباً(ليس أوليا) وهناك عدة نماذج مجردة يمكن استخدامها عند تقديم فكرة الأعداد الأولية وبطاقة الدرس 15-1ص329 توضح احد هذه النماذج. ويعد تقديم مفهوم العدد الأولي للطلبة يمكن تطوير التعريف ومن ثم يتوجب عليهم أن يميزوا لعدد الأولي من العدد المركب وهناك عدة استكشافات تركز على الإعداد الأولية مثل منخل ايراستوثينيس ويمكن لأحدنا أن يستقضي عن توائم الأعداد الأولية (أزواج من الأعداد الأولية ناتج طرحهما 2 مثل 11و13 او17و19) أو عن الأعداد الأولية المتعاكسة(مثل79و97) أو لانهائية الأعداد الأولية.
‌د. التحليل للعوامل:
تنص النظرية الأساسية في الحساب على أن أي عدد مركب يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب أعداد أولية بطريقة واحدة فقط وهناك أنماط وقوانين عديدة في نظرية الأعداد وطرق إيجاد القاسم المشترك الأعلى والمضاعف المشترك الأصغر تعتمد على التعبير عن العدد كحاصل ضرب أعداد الأولية.


كيف نبدأ بإيجاد العوامل الأولية للعدد 3190؟
هناك طريقتان للكتابة العدد كحاصل ضرب أعداد أولية إحداهما طريقة شجرة العوامل


3190



319 11


5 2 29 10

والثانية هي طريقة القسمة ويتم قسمة العدد على عوامله الأولية


3190 2


1595 5
الأعداد الأولية التي تقسم3190
319 11

29 29


والفرق بن الطريقتين أن الخطوة الأولى في شجرة العوامل تتم باختيار أي عاملين للرقم بحيث يكون حاصل ضربهما مساوياً للرقم الأصلي لكن في عملية القسمة لابد من قسمة العدد على عامل أولي في كل خطوة ولكن بغض النظر عن الطريقة المتبعة يجب التأكيد على كتابة العدد كحاصل ضرب أعداد أولية كما يلي: 3190=29x11x5x2.

(3) القاسم المشترك الأعلى والمضاعف المشترك الأصغر:
بعد أن نظرنا إلى عوامل ومضاعفات الأعداد المفردة ننتقل الآن إلى تفحص أزواج من الأعداد لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) والقاسم المشترك الأعلى (ق م أ) ومن ثم ألإجابة عن السؤالين:
ما هو اكبر عدد يقسم الرقمين بدون باقي؟
ما هو اصغر الأعداد التي تكون مضاعفاً للعددين ؟
ويعتمد استيعاب هذين المفهومين بشكل أساسي على معرفة كيفية إيجاد العوامل والمضاعفات والتمييز بينهما وتتشابه طريقتا إيجاد(ق م أ) و(م م أ) ولذلك يحصل الالتباس عند الأطفال الذين لا يفهمون ما يعملون. وفي الاختبار الوطني الثاني لتقويم الرياضيات اظهر نصف المتقدمين في عمر السابعة عشرة هذا الالتباس وتمكن عدد قليل جداً من المتقدمين في عمر الثالثة عشرة من استيعاب احد المفهومين.
( Carpenter, et al.1981).
وعادة ما يعرض المعلمون(ق م أ) و (م م أ) الواحد تلو الآخر دون استخدامهما في التطبيقات أو أن يعرضوا المفهومين في وقتين مختلفين دون الجمع بينهما ومقارنتهما. وإذا كان لا بد من تدريسهما للأطفال فيجب أن يتم ذلك بطريقة هادفة ذات معنى. وهناك عدة طرق لإيجاد(ق م م) و(م م أ) لكن عادة ما نستخدم طريقة التحليل للعوامل أو طريقة الجدولة أو القائمة علماً بأن الطريقة الثانية هي الأكثر واقعية وما عليك الآن إلا أن تفكر كمعلم عن الأسئلة التي تقولها لطلابك عند تقديم هذين المفهومين.


لإيجاد العامل المشترك الأكبر بطريقة الجدولة نبدأ بكتابة كل عوامل العددين ثم ننظر للعوامل المشتركة وأخيرا نأخذ اكبر هذه العوامل ولإيجاد المضاعف المشترك الأصغر نبدأ بكتابة مضاعفات العددين حتى نجد مضاعفاً مشتركاً ويمكن للأطفال استخدام (م.م. أ) عند إيجاد المضاعف المشترك لمقامات الكسور كما يمكنهم استخدام (ق. م.أ) عند تبسيط الكسور إلا أن المعلم قد يفشل في تعليمهم ذلك فيتم تبسيط الكسور على عدة مراحل بدل استخدام (ق. م. أ) في خطوة واحدة وكذلك قد يجد الأطفال مضاعف مشترك للمقامات بدل إيجاد (م.م.أ) للمقامات ولكن مع استخدام الحاسبات وعدم التركيز على الكسور المعقدة فإن إيجاد (ق.م.أ) أو (م.م.أ) لم يعد مهماً كما كان في السابق .
(4) اختبار قابلية القسمة:
لقد كانت قواعد قابلية القسمة مهمة في السابق أما الآن فإنها تدرس للمتعة فقط وقد يستطيع الأطفال اكتشاف قابلية القسمة على 2 أو5 بأنفسهم من خلال مراقبة أنماط الضرب والقسمة ولكن قواعد القسمة للأرقام الأخرى ليست واضحة لتلك الدرجة وتمثل بطاقة النشاط (15-7) إيجاد قاعدة قابلية القسمة على 3 و 9 بطريقة الاكتشاف الموجه. ومن الأهمية بمكان مناقشة الطلاب بنتائج هذا النشاط وإعطاء أمثلة إضافية إذا لم تكن الطريقة مفهومة. وهذه بعض الأسئلة التي نستطيع طرحها لتوضح هذه العملية: هل تصلح هذه الطريقة للأعداد الكبيرة ؟ هل يصح هذا الاختبار بـ9،3 فقط؟ لماذا صحت هذه الطريقة؟ ويمكن مساعدة الطلاب في الإجابة عن السؤال الأخير بتفحص النموذج في الشكل(15-7) والذي يمثل قسمة 456 على 3.
ويمكن النظر لقواعد قابلية القسمة الأخرى بأسلوب مماثل فقابلية القسمة على 4 تعتمد على خانتي الآحاد والعشرات لان خانة المئات وخانة الآلاف وما بعدهما يقبل القسمة على 4 لكن العشرة لا يمكن قسمتها الى أربعة أجزاء متساوية لذلك فإن قابلية القسمة لعدد ما على4 يعتمد على عدد العشرات والآحاد الموجودة في العدد
(5) أفكار أخرى للبحث والاستقصاء
هناك العديد من المواضيع في نظرية الأعداد يمكن البحث فيها ومنها:
‌أ. مثلث باسكال: وهذا المثلث مرتبط بشكل أساسي بنظرية الاحتمالات إلا أن فيه الكثير من الأنماط العددية والموضحة في بطاقة النشاط 15-8.
‌ب. ثلاثيات فيثاغورس: وهي عبارة عن ثلاثة أعداد (أ.ب.جـ) بحيث أ2+ب2=جـ2 ومثال ذلك (4، 3، 5 ) وهناك طرق عديدة لإيجاد مثل هذه الثلاثيات ويوجد عدة أنماط لها وتمثل الخريطة في بطاقة النشاط 15-9 طريقة لإيجادها.
‌ج. سلسلة فايبوناكي: وهي الأعداد 1،1،2،3،5،8،13،21،.... هل يمكن إعطاء الرقم التالي في هذه السلسلة وهل يمكن إيجاد حدها العام ؟ ويمكن توليد هذه السلسلة باستخدام الحاسوب كما هو موضح في بطاقة النشاط 15- .10
‌د. الأنماط العددية في الهندسة: هناك عدة أنماط هندسية تقود الى أنماط عددية كما هو موضح في المثال المعطى بالنشاط 15-11 والسؤال هو: كم عدد المستطيلات في هذا الشكل؟



‌ه. المنخل: وأشهرها منخل ايراتوستينز والتي ترتب فيه الأعداد في عشرة أعمدة ويستخدم لتوليد مجموعة الأعداد الأولية ولكن أجمل ما يميز هذا المنخل انه إذا رتبت الأعداد في ستة أعمدة فإن جميع الأعداد الأولية بعد 3،2 ستظهر في العمود الأول والخامس فقط .

تمارا
07-02-2007, 02:09 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

دهمشيات(خصائص المربع)

خصائص هذا المربع متتالي الاعداد من 1 الى 256 اي 16 * 16 ليس هناك رقم ناقص او مكرر

كل الاعمدة التي بداخله او الصفوف والاقطار متساوية النتيجة وهي= 2016 و من خصائص هذا المربع ينقسم الى 16 مربع صغيرة بداخله 4*4 وكل عمود من اعمدتها او صف من صفوفها او قطر من قطريها تساوي 514

اختر اي مربع 4 * 4 الموجودة بداخل هذا المربع وتأكد


صمم من طرف الاستاذ دهمش فاتح مصطفى



لتحميل هذا البرنامج زر قسم البرامج -رياضيات عامة -
او اضغط هنا
http://www.yzeeed.com/modules.php?name=Downloads&d_op=getit&lid=24

تمارا
07-02-2007, 02:12 PM
بسم الله الرحمن الرحيم

أوائل في الرياضيات

(1) أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى عشريّة:-
أوّل من حوّل الكسور العاديّة إلى كسور عشريّة في علم الحساب هو غياث الدين جمشيد الكاشي قبل عام 840 هجرية/1436 م.
(2) أوّل من استعمل الأسس السالبة:-
يعدّ العالم المسلم السموأل المغربي، وهو عالم اشتهر باختصاصه في علم الحساب، أوّل من استعمل الأسس السالبة في الرياضيات، وتوفي هذا العالم الفذّ في بغداد عام 1175م.
(3) أوّل من استخدم الجذر التربيعي


اللولو :-
إن الجذر التربيعي هو أوّل حرف من حروف كلمة جذر، وهو المصطلح الذي أدخله العالم المسلم الرياضي محمد بن موسى الخوارزمي، وأوّل من استعمله للأغراض الحسابية هو العالم أبو الحسن علي بن محمد القلصادي الأندلسي الذي ولد عام 825 هجرية وتوفي سنة 891 هجرية وانتشر هذا الرمز في مختلف لغات العالم.
(4) أوّل من وضع أسس علم الجبر:-
أوّل من وضع أسس علم الجبر هو العالم المسلم أبو الحسن محمد بن موسى الخوارزمي، ولد هذا العبقري الفذّ في بلدة خوارزم بإقليم تركستان في العام 164 هجرية، برع في علم الحساب ووضع فيه كتاباً له أسماه ((الجبر والمقابلة)) شرح فيه قواعد وأسس هذا العلم العام، تحرف اسمه عند الأوروبيين فأطلقوا عليه ( ALGEBRA) أي علم الحساب، وتوفي –رحمه الله –عام 235 هجرية.
(5) أوّل من أسس علم حساب المثلثات:-
يبدو أن الفراعنة القدماء عرفوا حساب المثلثات وساعدهم ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة، وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة، حتى جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته، وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات، أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين الطوسي.
(6) أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب:-
أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب هو العالم المسلم محمد بن موسى الخوارزمي المتوفى عام 235م. وكان هذا الاكتشاف في علم الحساب نقلة كبيرة في دراسة الأرقام وتغيراً جذرياًّ لمفهوم الرقم.
(7) أوّل من استعمل الرموز في الرياضيات:-
أوّل من استعمل الرموز أو المجاهيل في علم الرياضيات هم العرب المسلمون، فاستعملوا (س) للمجهول الأول، و (ص) للثاني و (ج) للمعادلات للجذر.. وهكذا.
(8) أوّل رسالة طبعت في أوروبا عن الرياضيات:-
أوّل رسالة عن علم الرياضيات طبعت في أوروبا كانت مأخوذة من جداول العالم المسلم أبي عبد الله البتاني، وقد طبعت هذه الرسالة الأولى عام 1493م في اليونان.
(9) أوّل من أدخل الأرقام الهندية إلى العربية:-
إن الأرقام التي نستعملها اليوم في كتابة الأعداد العربية(1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9) ، … الخ هي أرقام دخيلة استعملها الهنود من قبل العرب بقرون طويلة، وأول من أدخل هذه الأرقام إلى العربية هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم الرياضيات.
(10) أوّل عداد يدوي:-
قام الصينيون باختراع أوّل عداد يدوي في التاريخ، واستعانوا به على إجراء العمليات الحسابية وذلك في العام 1000 قبل الميلاد وسموه ((الأبوكس)).
(11) أوّل حاسوب إلكتروني:-
تم اختراع أوّل حاسوب إلكتروني يعمل بالكهرباء في عام 1946م بالولايات المتحدة الأمريكية، وأطلق عليه اسم (إنياك:Eniac)، وهو من حواسيب الجيل الأوّل التي تعمل بالصمامات المفرغة وتستهلك قدراً كبيراً من الكهرباء، وهي تشمل مساحة كبيرة.

تمارا
07-02-2007, 02:17 PM
بسم الله الرحمن الرحيم
و للموضوع بقية ان شاء الله تعالى

اختكم في الله تعالى
تمارا

مشعل القبلان
08-02-2007, 12:00 PM
الله يعطيك العافيه أخت تمارا على هذا المجهود الرائع

وفي ميزان حسناتك إن شاء الله

أتمنى لك التوفيق والنجاح

تمارا
08-03-2007, 01:16 PM
بسم الله الرحمن الرحيم
الله يعافيك أخي
الحمد لله المجهود ينسى بطعم النجاح
ان شاء الله
اللهم آمين و أمنيتي لك بالمثل

تمارا